Что такое ток вероятности в квантовой механике?

Суммарная вероятность всех взаимоисключающих альтернатив всегда должна быть равна 100%, поэтому она сохраняется. Закон сохранения в пространстве-времени имеет тенденцию быть «локальным», поэтому, как и в случае с сохранением заряда, мы можем вывести сохранение вероятности в уравнении Шрёдингера из локального уравнения неразрывности

$$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \mathbf \nabla \cdot \mathbf j = 0$$ Таким образом, вероятность $\rho$в маленьком ящике уменьшается ровно на величину, которую можно вычислить как поток вероятности, протекающий через шесть граней маленького ящика (через его границу) по теореме Гаусса. Полезно знать форму вектора $\vec j$что позволяет нам удовлетворить приведенное выше уравнение неразрывности.

Но ток вероятности имеет гораздо более прямую интерпретацию. Представьте, что у вас есть фотопластинка, которая гарантированно поглощает частицы, попадающие на пластинку (т. е. делает невозможным какое-либо отражение). Тогда вероятность в единицу времени того, что частица действительно будет поглощена поверхностью$\Sigma$(и создать «точку» где-нибудь на этой поверхности) задается выражением

$$\frac{dP_{\rm absorb}}{dt} = \int_\Sigma d\vec S \cdot \vec \jmath$$ с правильным соглашением о знаках для векторов. Даже если вычислить простой вопрос, какова будет плотность точек на пластине в эксперименте с двумя щелями, ток вероятности имеет для этого непосредственное значение. Несколько небрежно можно представить, что распределение точек совпадает $\rho$. Но гораздо точнее, что он соответствует $j_n$, нормальная составляющая (к пластине) тока вероятности. Эти две функции $x,y$пропорциональны друг другу только в том случае, если скорость частицы везде «постоянна». Если это не так, $j_n$дает более правильное представление о «плотности точек», чем $\rho$.

Чтобы добавить к отличному ответу @Luboš Motl, я просто хочу упомянуть связь с электрическим током и плотностью электрического заряда из электродинамики, с которой вы, возможно, более знакомы.

Обратите внимание, что вероятность безразмерна, поэтому плотность вероятности имеет единицы измерения 1/объем, а текущая вероятность имеет единицы измерения 1/площадь*время. Это такие же единицы, как плотность электрического заряда и электрический ток с точностью до коэффициента электрического заряда. Действительно, если вы умножите эти величины на некоторый электрический заряд Q, вы получите вполне разумные плотности электрического заряда и электрические токи, которые удовлетворяют уравнению непрерывности для электродинамики (которое имеет тот же вид, что и приведенное выше, за исключением того, что$\rho$а также$\textbf{j}$интерпретируются как соответствующие величины в электродинамике, а не в квантовой механике.

Более того, если вы вычислите$p$а также$\textbf{j}$для электрона в атоме водорода (часть любого первого курса квантовой механики) и умножить их на$e$фундаментальный электрический заряд, вы получаете соответствующую плотность электрического заряда и электрический ток для водорода. Если это не кажется вам заслуживающим внимания, попробуйте использовать радиус Бора и электрический ток, который вы только что вычислили, для расчета магнитного дипольного момента водорода:$\mu = I A$. Получается очень близко к реальной стоимости! Таким образом, эта интерпретация вероятностного потока как создания «вероятностного электрического тока» на самом деле имеет смысл, поскольку она дает эвристическое приближение к реальному магнитному дипольному моменту водорода.

Последнее замечание: на самом деле, пытаясь решить такие проблемы электродинамики, Шредингер впервые разработал свое знаменитое уравнение. Исходная волновая функция на самом деле имела единицы$\sqrt{\frac{Q}{P}}$где Q — заряд, а P — вероятность. Только позже он осознал большую значимость своего результата и отказался от коэффициента заряда.