Нахождение полного потока вероятностного тока через сферу

Для волновой функции:

$$\Psi(\textbf{x}) = e^{ikz} + \dfrac{f(\theta)}{r}e^{ikr}$$

Где$z = r\cos(\theta)$.

Ток вероятности$J$затем дается:

$$J(\textbf{x}) = J_1(\textbf{x}) + J_2(\textbf{x}) + J_{12}(\textbf{x})$$

Где$J_1$- это ток из-за первого члена (плоская волна), а второй член - это ток из-за второго члена (сферическая волна), а третий из-за интерференции двух волн.

я рассчитал$J_1$так:

$$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{ikr\cos(\theta)})^*(\nabla \cdot e^{ikr\cos(\theta)}))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im((e^{-ikr\cos(\theta)}) (\dfrac{\partial}{\partial r}+\dfrac{\partial}{\partial \theta})e^{ikr\cos(\theta)})$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar}{m}\Im(ik\cos(\theta) + ik\sin(\theta))$$ $$J_1(\textbf{x}) = \dfrac{\hbar k}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

Теперь, чтобы вычислить полный поток через сферу радиуса$R$:

$$\Phi = \int J_1\cdot dA$$ $$\Phi = J_1 A = J_1\pi R^2$$ $$\Phi = \dfrac{\pi\hbar kR^2}{m}(\sin(\theta) + \cos(\theta))$$

У меня вопрос, это правильный способ сделать это и правильно ли это?