Коэффициент диффузии для асимметричного (смещенного) случайного блуждания

ПРЕДИСЛОВИЕ

После нескольких правок этот ответ дает наивное объяснение того, почему ваш подход не удался, как его исправить (наивный) и совершенно другой (но правильный) подход к решению проблемы.

вступление

Вы правы: коэффициент диффузии должен быть$D=4pqD_0$,$D_0$будучи «нормальным» (см. Ниже выводы).

Я не знаю точно, почему ваш подход не работает, но есть убедительные доказательства того, что что-то должно быть не так, что, я думаю, зависит от вовлеченного стохастического процесса: если вы определяете${\Delta x\over \Delta t}=v$и конечно, то "ваше"$D={\Delta x^2 \over 2\Delta t}={\Delta x\over 2} v$исчезает в малом$\Delta x$предел.

Дело в том, что на LHS у вас есть производная по времени ($O(\Delta t)$), тогда как на RHS у вас есть второй$x$-производная ($O(\Delta x^2)$).

Теперь, поскольку отношение$v={\Delta x\over \Delta t}$конечно, это означает, что$O(\Delta x^2)=O(\Delta t^2)$поэтому две части уравнения не совпадают. При нормальном броуновском движении у вас было бы$\Delta x\sim \sqrt{\Delta t}$так что нет проблем.

В основном дрейф, вызванный смещением, все портит...

Я разочарован, увидев, что оооочень много книг и статей делают эту ошибку и используют$D_0$также для смещенных случайных блужданий ... (это имеет смысл только тогда, когда смещение является внешним, а диффузия является «нормальной», хотя в этом случае это тот же процесс..)

Теперь я предлагаю вам два решения: первое — это подход Фоккера-Планка. Второй - Ланжевена.

Я уверен, что результаты правильные (моделирование + документы + книги доказывают это), но я не уверен в шагах (поскольку я в основном делал их сам). Трудно найти теоретическую трактовку этого вопроса.

Подход Фоккера-Планка

Проблема, с которой мы здесь сталкиваемся, — это дрейф + диффузия: частица дрейфует (из-за смещения), но также колеблется вокруг своего среднего значения (так как нормальная диффузия колеблется вокруг$0$).

Определим скорость дрейфа$v={\Delta x\over \Delta t}$. Если бы у нас был только дрейф, FP был бы:

$$\partial_t P_d(x, t)=-v\partial_x P_d$$

Вместо этого, если бы у нас была только диффузия:

$$\partial_t P_D(x, t)=D\partial^2_x P_D$$

Проблема: какой D мне выбрать? В общем$D\sim \Delta x^2$а в нашем случае "дробь"$(p-q)\Delta x$исходного смещения превратилось в дрейф, поэтому мы перенормируем, удалив эту часть (это эквивалентно рассмотрению только дисперсии смещения, а не его квадрата среднего значения, которые опять же, при нормальной диффузии идентичны, так что...):

$$D={1\over 2\Delta t}\left(\Delta x^2 - (p-q)^2\Delta x^2\right) = 4pq{\Delta x^2\over 2\Delta t}$$ (Я использовал $p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$).

Как видите, мы нашли$D$Я предсказал, но это было своего рода прыжком веры для меня, хотя я вижу, что коэффициент диффузии иногда определяется как${var(\Delta x)\over 2\Delta t}={\langle \Delta x^2\rangle - \langle \Delta x\rangle ^2)\over 2\Delta t}$а не просто${\langle\Delta x^2\rangle\over 2\Delta t}$. Я никогда не замечал этого, потому что при нормальной диффузии разницы нет, так как среднее значение равно нулю.

Во всяком случае, два процесса сами по себе прекрасно определены.

Теперь нам нужно сшить вместе дрейф и диффузию. Поскольку оба процесса происходят одновременно, конечная вероятность$P(x, t)$можно найти как:

$$P(x, t)=\int P_D(x-y)P_d(y)dy$$ (значение: вероятность путешествия $x-y$по временам диффузии вероятность путешествия $y$дрейфом, интегрированным по $y$). Опять же, это прыжок веры, как и доказательство (которое, я думаю, мне удалось найти, но я не был бы в нем уверен: нужно просто взять производную по времени от этого материала и поиграть с интегралами и производными немного...), что это приводит к:

$$\partial_t P= -v\partial_x P +{D}\partial^2_x P$$ который является Fokker-Planck, который мы ищем, с $D=4pqD_0$.

Ланжевенский подход

Один из источников, которые вы процитировали в комментарии, уже показывает следующее, но я делаю это более физическим способом.

Я не уверен, что это может помочь, но я предлагаю вам аналогичный подход (более ланжевеновский), который приводит к первым двум моментам позиции$x$и к наглядному определению коэффициента диффузии.

Я положительно отношусь к этому результату.

Предположим, что дискретный процесс$N={t\over \Delta t}$шаги, там$t$это общее время. На каждом шаге частицы смещаются на$\Delta$с вероятностью$p$вправо и$q=1-p$Слева.

Таким образом, на каждом этапе:

$$x(t+\Delta t)=x(t)+\eta_{\Delta t}$$

где$\eta_{\Delta t}$это процесс, который дает$\Delta$с вероятностью$p$и$-\Delta$с вероятностью$q$, такой, что$\langle \eta_{\Delta t }\rangle = (p-q)\Delta$и$\eta_{\Delta t}^2=\Delta^2$. Обратите внимание, что это определяет$\eta_{\Delta t}$только каждый$\Delta t$секунды. Мы не знаем, что происходит в других масштабах.

Итак, мы имеем после$\Delta t$:

$$dx=x(t+\Delta t)-x(t)=\eta_{\Delta t}$$ и, таким образом, его среднее значение равно:

$$\langle dx \rangle=\langle \eta_{\Delta t} \rangle=(p-q)\Delta$$ так что $$\langle x(t)-x(0) \rangle=\langle \sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\rangle=\sum_{i=1}^N \langle dx\rangle=N(p-q)\Delta=(p-q){\Delta \over \Delta t}t$$

Если мы положим$v={\Delta \over \Delta t}$это ваш же результат, и это имеет смысл. Обратите внимание, что нам пришлось разделить$x(t)-x(0)$в$\Delta t$-размерный интервал, поскольку мы не знаем, что происходит в других масштабах.

На второй момент сложнее:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} x(i\Delta t)-x((i-1)\Delta t)\right)^2\rangle=\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2$$

и это квадрат суммы, поэтому:

$$\langle\left(\sum^N_{i=1} dx\right)^2\rangle=\sum^N_{i=1}\langle dx^2\rangle + 2\sum^N_{i<j}\langle dx\rangle_i\langle dx\rangle_j$$

Теперь, используя моменты$dx$что мы знаем, поскольку все моменты равны:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle=N\langle dx^2\rangle+N(N-1)\langle dx \rangle ^2$$ то есть

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2 N(1+(N-1)(p-q)^2)$$

который можно преобразовать в (используя$p+q=1\rightarrow p^2+q^2=1-2pq$):

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} \left((1-4pq){t\over \Delta t}+4pq)\right)$$

Сейчас если$p=q=1/2$Вы получаете

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2{t\over \Delta t} = 2Dt$$ с $D={\Delta^2\over 2\Delta t}$что является нормальной диффузией, как и ожидалось.

Если вместо этого$p=1$и$q=0$(или наоборот)

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 = (vt)^2$$

что опять же верно.

Все промежуточные случаи странные. Заметьте, кроме того, что во всех остальных случаях, если вы позволите$\Delta t, \Delta x\rightarrow 0$происходят странные вещи.

Я думаю, это причина того, что Fokker-Planck не работает, за исключением простых случаев. Должен быть какой-то трюк со стохастическими процессами, который я теперь знаю.

Но по крайней мере вы можете переписать:

$$\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle = \Delta^2\left({t\over \Delta t}\right)^2 (1-4pq)+4pq\Delta^2{t\over \Delta t} = (vt)^2(1-4pq)+2D_{eff}t$$ с $D_{eff}=4pq{\Delta^2\over2\Delta t}$.

Этот процесс является процессом дрейфа+диффузии: частица дрейфует со скоростью$(p-q)vt$(что является средним значением позиции) и колеблется вокруг такого значения. В каждый момент времени можно вычислить дисперсию:

$$\sigma^2=\langle (x(t)-x(0))^2 \rangle -\langle (x(t)-x(0)) \rangle ^2$$ что оказывается

$$\sigma^2(t) = 2D_{eff}t = 8pqD_0t$$ где $D_0={\Delta^2 \over 2\Delta t}$- нормальный коэффициент диффузии.

Поэтому я предполагаю, что процесс будет представлен гауссовым распределением (при условии, что мы начали с$P(x, 0)=\delta(x-x_0)$со средним$x0+(p-q)vt$и дисперсия$\sigma^2(t)$. Таким образом, распространение движется и распространяется.

Симуляции, которые я делал прямо сейчас, согласуются.

Выводы

Я не уверен, что мы нашли правильный Фоккер-Планк (или что мы нашли его в правильном направлении), но я думаю, что мы нашли$P(x, t)$...! Это P(x, t) имеет смысл и, вероятно, является правильным. Тем не менее, поскольку симуляции всегда включают дискретные шаги, я не уверен, что произойдет в непрерывном пределе, хотя... возможно, действительность некоторых шагов может развалиться.

Тем не менее, я думаю, мы можем считать себя удовлетворенными.

Уравнение, которое вы описываете, известно как уравнение Ланжевена и соответствует уравнению Фоккера-Планка. Основная проблема с уравнением диффузии заключается в том, что$p$не может быть 1 и$q$быть 0, но необходимо уравнение связи (как в рамках Ито):

$$\Delta h = const \sqrt{\Delta t} \\ $$

для этого вам нужно

$$p - q = \frac{\alpha}{\sigma} \sqrt{\Delta t} \\ $$

где$\alpha$является членом в уравнении Ито

$$dX = \alpha dt + \sigma dZ$$

Теперь по данным этого журнала

свойства аномальной диффузии были тщательно исследованы с помощью нескольких подходов для моделирования различных видов вероятностных распределений. Хорошо известное свойство нормальной диффузии, описываемое гауссовым распределением, может быть получено с помощью обычного уравнения Фоккера-Планка с постоянным коэффициентом диффузии (без дрейфа срок). Аномальные режимы диффузии также можно получить с помощью обычного уравнения Фоккера-Планка, однако они возникают из-за переменного коэффициента диффузии, зависящего от времени и/или пространства. С другой стороны, в подходе Ланжевена это связано с мультипликативным шумовым членом. В других подходах, таких как обобщенное уравнение Фоккера-Планка (нелинейное) и дробные уравнения, они могут описывать аномальные режимы диффузии с постоянным коэффициентом диффузии. Уравнение Ланжевена является очень важным инструментом для описания неравновесных систем [3, 4]. Более того, это уравнение было тщательно исследовано; также выявлены многие его свойства и аналитические решения. В этой работе мы представляем решения класса уравнений Ланжевена с детерминированным дрейфом и мультипликативными шумовыми членами во времени и пространстве. Для этого мы получаем соответствующее уравнение Фоккера-Планка в определении Стратоновича, а затем получаем его решения для функции распределения вероятностей (PDF). представлены решения класса уравнений Ланжевена с детерминированным дрейфом и мультипликативными шумовыми членами во времени и пространстве. Для этого мы получаем соответствующее уравнение Фоккера-Планка в определении Стратоновича, а затем получаем его решения для функции распределения вероятностей (PDF). представлены решения класса уравнений Ланжевена с детерминированным дрейфом и мультипликативными шумовыми членами во времени и пространстве. Для этого мы получаем соответствующее уравнение Фоккера-Планка в определении Стратоновича, а затем получаем его решения для функции распределения вероятностей (PDF).

Теперь по уравнению Ланжевена

$$\xi = h (\xi, t) + g(\xi, t) \Gamma(t)\\ $$

где$\xi$является стохастической переменной и$\Gamma(t)$есть сила Ланжевена. Для$g = \sqrt{D}$и$h(\xi, t) = 0$мы получаем описывает винеровский процесс, а соответствующее распределение вероятностей описывается функцией Гаусса. Применяя подход Стратоновича в одномерном пространстве уравнения Ланжевена, мы получаем следующее динамическое уравнение для СДУ (переписывая его в более удобных обозначениях):

$$\partial_t P(x,t) = -D_1 \partial_x P(x,t) + D_2 \partial_x^2 P(x,t)$$

где с использованием подхода Стратоновича

$$D_1(x,t) + \frac{\partial g(x,t)}{\partial x} g(x,t)$$

и

$$D_2 (x,t) = g^2 (x,t)$$

Важно различать концепцию диффузии и смещения. Вам решать, как должен вести себя ваш коэффициент диффузии, и посмотреть, может ли он имитировать физическую ситуацию.

Ваши уравнения могут описать реальность.

Рассмотрим стакан воды, который вы роняете с третьего этажа здания. Если вы предполагаете, что ветра нет, молекулы вашей воды рано или поздно упадут на улицу, но ваша жидкость будет распространяться в пространстве вертикально по причинам, о которых нам не нужно заботиться, но они существуют (в данном случае трение воздуха). Скорее всего, вы согласитесь, что в этом реалистичном сценарии вы обнаружите в жидкости молекулы, скорость которых меньше, чем v, где v — скорость, усредненная по всем молекулам. Это из-за D, который в данном случае описывает разброс импульса/позиции.

Вы можете представить себе такой же эксперимент с отдельными молекулами, сбрасываемыми одна за другой с балкона. Вы обнаружите, что в среднем ваша скорость равна v, но не все частицы прибывают в одно и то же время, и разброс будет равен D, а D не будет равно нулю.