Почему мы требуем, чтобы генераторы калибровочных теорий SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} были матрицами N×NN×NN \times N?

Я часто читал, что генераторы для С U ( Н ) калибровочные теории должны быть Н × Н матрицы; см., например, эти примечания вверху страницы 3: http://www.staff.science.uu.nl/~wit00103/ftip/Ch12.pdf ‎. Почему это?

Я не думаю, что это необходимо с математической точки зрения. Например, для С U ( 2 ) мы можем рассмотреть 2 × 2 генераторы:

Дж 1 / 2 1 "=" 1 2 ( 0 1 1 0 ) , Дж 1 / 2 2 "=" 1 2 ( 0 − я я 0 ) , Дж 1 / 2 3 "=" 1 2 ( 1 0 0 − 1 )
Однако и следующее 3 × 3 генераторы удовлетворяют алгебре Ли:
Дж 1 1 "=" 1 2 ( 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ) , Дж 1 2 "=" 1 2 ( 0 − я 0 я 0 − я 0 я 0 ) , Дж 1 3 "=" ( 1 0 0 0 0 0 0 0 − 1 )

Ответы (2)

Вы также должны указать Representation .

Представление требует SU(N) группы Ли с матрицей N×N и называется фундаментальным представлением . Который используется в стандартной модели U(1) x SU(2) x SU(3).

Вы, конечно, можете иметь группы Ли SU (N) с другим представлением, таким как присоединенное представление , тогда в этом случае SU (N) представлены матрицей с рангом номера ее элемента группы г ( г ) , что ранг- ( Н 2 − 1 ) . то есть ( Н 2 − 1 ) Икс ( Н 2 − 1 ) матрица. В этом случае присоединенное представление для группы Ли G - это способ представления элементов группы как линейных преобразований групповой алгебры Ли. Итак, генератор ( Т а ) б с "=" − я ф а б с , принимает свое значение как структурная константа. (здесь [ Т а , Т б ] "=" я ф а б с Т с .)

Так что никакой загадки нет.

Спасибо за ваш ответ. Итак, если я правильно понимаю, мы нашли модель (т. е. Стандартную модель), которая «случайно» работает очень хорошо, если мы используем фундаментальное представление? Нет особой причины использовать фундаментальное представление, за исключением того, что «случается», что природа работает таким образом?
Привет Хантер, я не думаю, что физика элементарных частиц дает глубокую причину. Но мы знаем, что есть неглубокая причина иметь ранг. Н матрице по той причине, что цветовой заряд равен 3 для SU(3) КХД.
кстати. Я знаю, что с точки зрения конденсированного состояния есть топологическая причина, по которой существует 3 поколения 16 фермионов Вейля и 3 поколения нейтрино. Это из рассуждения, подобного одномерной цепи Китаева, обобщенной на флуктуирующую одномерную струну в 3+1D.
Хорошо, спасибо, я думаю, я надеялся, что была какая-то более глубокая причина.
Я думаю, что да, это ваш шанс стать великим физиком, разбирающимся в этой глубокой причине, дайте мне знать о ваших успехах. :-)
Я должен отметить, что существуют расширения Стандартной модели, включающие новые частицы, которых нет в фундаментальных представлениях С U ( Н ) , но наличие частиц в фундаменте в некотором смысле более {\em экономично}.
Ваше объяснение чрезвычайно важно. Не могли бы вы исправить грамматику официального ответа: я не мог четко понять ответ из-за этого: «Представительство требует ... есть».

Каждая группа Ли имеет набор образующих, и обычно элемент группы находится путем возведения в степень (линейной комбинации) этих образующих.

Поскольку основное определение сказать С U ( Н ) [сходным образом С О ( Н ) ] что-то вроде

Группа унитарных (ортогональных), н к н матрицы с единичным определителем

тогда фундаментальное представление дается выражением н к н матрицы.

Однако группа IS порождена алгеброй. Следовательно, любой набор «матриц», удовлетворяющих коммутационным соотношениям, определяющим алгебру, порождает новое ( возможно, неэквивалентное) представление группы.

Примеры

Тривиальное представление: если все генераторы равны нулю, Т а "=" 0 , ∀ а , любая алгебра Ли выполняется. А групповое представление — это скалярная единица 1 . Это называется тривиальным представлением.

Присоединенное представление: представление размерности, равной размерности группы , т.е. н к н матрицы, где н "=" г я м ( г ) , можно определить, идентифицируя генераторы со структурными константами группы (как указано @Idear в другом ответе на этот вопрос,

( Т а ) б с "=" − я ф б с а .

Кроме того, можно «создать» дополнительные представления группы, умножая известные представления (через тензорное произведение) или добавляя их (посредством прямой суммы). Тем не менее, результат этой операции не является обязательным неприводимым представлением (или иррепрезентацией), но это тема для другого поста!

;-)

Почему мы требуем, чтобы генераторы калибровочных теорий SU(N)SU(N)\mathrm{SU(N)} были матрицами N×NN×NN \times N?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v