Учителя математики/физики любят разбирать двойной маятник как пример хаотического движения, очень чувствительного к начальным условиям. У меня есть несколько вопросов о конкретных свойствах:
Для простого двойного маятника (который я определяю как две равные массы, соединенные двумя безмассовыми плечами одинаковой длины) является ли наивысшее начальное энергетическое состояние, когда обе массы полностью подняты вертикально, как подсказывает интуиция?
http://en.wikipedia.org/wiki/Double_pendulum#Chaotic_motion содержит график условий, при которых двойной маятник «переворачивается» или не переворачивается. Мой вопрос таков: подразумевает ли «переворот» верхнего или нижнего маятника последующее хаотическое движение, или существуют определенные энергии, для которых мы можем полностью предсказать движение и перевороты? И наоборот, если мы находимся в низких энергиях, когда ни верхний, ни нижний маятник не могут перевернуться, можем ли мы по-прежнему иметь хаотическую систему или все эти энергии имеют предсказуемые движения?
Верно, что двойной маятник проявляет интегрируемое поведение, когда начальные углы очень малы, однако в общем случае очень трудно охарактеризовать хаотическое поведение двойного маятника в терминах начальных углов. Есть и другие представления, дающие более ясную картину его хаотического поведения.
Вступительный раздел следующей статьи О.А. Рихтера и ссылки в ней описывают основные характеристики интегрируемости двойного маятника (см. здесь официальную версию журнала). Я резюмирую здесь основные факты:
(Примечание: числовые значения соответствуют стандартному двойному маятнику с единичными массами и единичными длинами стержней и единичным ускорением под действием силы тяжести)
Полная энергия двойного маятника есть константа движения. Двойной маятник имеет 4 точки равновесия, соответствующие полным энергиям . Полная энергия определяет топологию энергетических гиперповерхностей, для , энергетические гиперповерхности представляют собой три сферы, а для , энергетические гиперповерхности представляют собой три тора.
Чтобы лучше понять этот момент, в случае очень низких энергий систему можно аппроксимировать (линеаризовать) до изотропного гармонического осциллятора. Тогда энергетические гиперповерхности имеют вид , тогда как для случая очень больших энергий преобладает кинетическая энергия и гравитацией можно пренебречь. В этом случае возможны два типа решений уравнения движения: один, при котором вращается внешний стержень, а внутренний колеблется, и второй, при котором вращаются оба стержня. Переход между двумя типами решений определяется значением полного углового импульс, который становится константой движения (из-за отсутствия гравитации). Для стандартного двойного маятника переход происходит при .
Оба предела (малых и больших энергий) соответствуют интегрируемым системам . Это хорошо известно, но вот краткое объяснение. Чтобы убедиться в интегрируемости изотропного гармонического осциллятора, нужно решить уравнения движения в полярных координатах. Полярный угол просто вращается с постоянной угловой скоростью, а радиальные координаты колеблются таким образом, что траектория имеет форму двухпутного хода через отверстие бублика, начерченное на поверхности двухтора. Это тор Лиувилля-Арнольда (существование которого указывает на интегрируемость системы), относительно которого расслаивается трехсферная энергетическая гиперповерхность.
В пределе высоких энергий аналогичный тор Лиувилля-Арнольда существует, когда внутренний стержень колеблется, и тор, образованный двумя полярными углами, когда два угла вращаются. (Здесь точное решение труднее, см., например, следующую статью Енольского, Пронина и Рихтера.
Теперь, поскольку интегрируемым системам соответствуют как пределы обращения в нуль, так и очень высокие энергии, полная энергия также определяет характеристики системы, но зависимость здесь гораздо сложнее. Переход от интегрируемости к хаосу и обратно при уменьшении полной энергии от бесконечности до нуля описан на рис. 2 статьи Рихтера. Деталей много, но вот основные: Фигуры соответствуют проекциям траекторий на плоскость, натянутую внешним углом стержня и суммарными угловыми моментами. Для очень большого углового момента проекции траекторий представляют собой горизонтальные линии с постоянным угловым моментом (который является константой движения). При уменьшении энергии образуются две непересекающиеся хаотические области, интегрируемые траектории соответствуют рациональному и иррациональному торам, вместе с устойчивыми резонансами. Примерно при Е = 10,352, что соответствует коэффициенту золотой обмотки, все иррациональные торы исчезают и происходит переход к глобальному хаосу. Со временем исчезают и устойчивые резонансы, при низких энергиях начинают появляться резонансы, соответствующие второй интегрируемой области.
Вот интерактивная страница моделирования с выводом формул, которые могут вас просветить.
Если энергия в системе — это просто гравитационная энергия, то да, вертикальное начальное положение будет иметь самую высокую потенциальную энергию, которая будет преобразована в кинетическую при отпускании. Энергия сохраняется, кинетика + потенциал постоянны, поэтому «положение» помогает определить начальную энергию системы. В противном случае, если подводится кинетическая энергия, это будет максимальный потенциал + добавленная кинетическая. То, что не имеет ответа, в данном случае также является «позицией», поскольку она будет зависеть от того, как передается импульс.