Пример, где гамильтониан H≠T+V=EH≠T+V=EH \neq T+V=E, но сохраняется E=T+VE=T+VE=T+V

Мы можем построить систему с гамильтонианом, не$T+V$но энергия по-прежнему сохраняется из любой системы, где энергия сохраняется за счет того, что описание фазового пространства в целом ковариантно :

Начиная с неограниченного гамильтониана$H_0(p,q)$с гамильтоновым действием

$$S_0 = \int \left(p_i \frac{\mathrm{d}q^i}{\mathrm{d}t} - H_0(p,q)\right)\mathrm{d}t$$ мы можем превратить его в систему с ограничениями, сделав$q^0 = t$переменная фазового пространства с ограничением$p_0 = -H_0$с действием $$S_\text{cov} = \int \left(p_0 \dot{q}^0 + p_i \dot{q}^i - u^0 (p_0 + H_0)\right)\mathrm{d}\tau$$ где$u^0$- множитель Лагранжа, обеспечивающий соблюдение ограничения, а точка - производная по$\tau$. Эквивалентность двух действий можно увидеть, получив eom для$S_\text{cov}$и подключение.

Проверка действия$S_\text{cov}$, далее мы видим, что он имеет нулевой гамильтониан! Все, что там есть, это канонические пары$p_i \dot{q}^i$и ограничение. ¹ Таким образом, гамильтониан ковариантного описания заведомо не$T+V$! Тем не менее, если система, с которой мы начали, имела закон сохранения энергии в смысле$T+V$, то и ковариантная система будет такой же, поскольку обе эквивалентны.

Вышеизложенное подчеркивает важный момент: хотя гамильтониан часто называют «энергией», он не обязательно должен иметь какой-либо физический смысл. В частности, всякий раз, когда возникают ограничения (а ограничения возникают, например, когда у нас есть калибровочная теория на уровне лагранжиана), его смысл должен быть тщательно продуман. Кроме того, форму гамильтониана можно изменить, изменив наше описание системы (главным образом увеличив фазовое пространство (введя калибровочные симметрии/ограничения) и уменьшив фазовое пространство (устранив ограничения)), и, таким образом, «гамильтониан» не является инвариант любой физической системы.

Кроме того, вы говорите о случаях, когда «гамильтониан сохраняется». Некоторые замечания к этому: в гамильтоновом формализме сохранение означает наличие нулевой скобки Пуассона с гамильтонианом, поскольку она является генератором переноса «времени» (независимо от того, является ли параметр эволюции физическим временем или нет), поэтому гамильтониан тривиально сохраняется. В ковариантном формализме$p_0$является генератором переносов времени, но гамильтониан равен нулю и, следовательно, также сохраняется, поскольку его скобка Пуассона с$p_0$очевидно равен нулю.

---

^{1 До сих пор это обсуждение весьма точно взято из гл. 4.2 книги «Квантование калибровочных систем» Хенно/Тейтельбойма.}