Орбитальная механика и ракетостроение: стоит ли намеренно занижать перицентр?

Question

Орбитальная механика и ракетостроение: стоит ли намеренно занижать перицентр?

Стивен Лу

Вкратце: перенос Хомана кажется оптимальным способом достижения круговой орбиты, но возможно ли понизить перицентр, чтобы достичь более эллиптической орбиты с апоцентром на том же расстоянии, используя меньше delta-v чем передача Хомана?

Я играл в замечательную игру под названием Kerbal Space Program, которая довольно точно моделирует механику космического корабля, с которой вы можете столкнуться в Солнечной системе.

Я читал о том, что эффект Оберта диктует, что ракетные ожоги намного эффективнее, когда орбитальная скорость выше.

Я хочу свести к минимуму расход топлива, что является благородным и практичным делом. Ситуация такова. Вокруг планеты установилась устойчивая круговая (или почти круговая) орбита. Цель состоит в том, чтобы отправиться в целевое место на орбите вокруг той же планеты, которая находится на гораздо большей орбите. Находясь уже на низкой круговой орбите, можно легко отрегулировать наклон в соответствии с наклоном тела-мишени, поэтому в настоящее время меня больше всего интересует случай, когда я уже нахожусь на почти круговой орбите в той же плоскости, что и мой. целевое тело.

Это следующий шаг, который меня смущает. Я вижу два подхода.

Пожарные машины движутся вперед в перицентре, чтобы набрать достаточно энергии, чтобы добраться до тела цели.
Пожарные машины движутся ретроградно в апоапсисе, чтобы опустить периацентр до минимально возможной точки перед входом в атмосферу. (этот шаг «отменяет» часть работы, проделанной при выходе на исходную круговую орбиту; если планета, на которой мы вращаемся, — это та, с которой мы стартовали, можно направить запуск так, чтобы он соответствовал наклону цели, и создать эту эллиптическую орбиту из в начале. Но давайте пока не будем предполагать, что это возможно.) При новом пониженном перицентре более эффективно работает прямое горение двигателя.

Я игнорирую тот факт, что из-за этого мы прибудем к цели в разное время; возвращение назад несколько раз должно в конечном итоге дать возможность захвата.

Поэтому я считаю, что это означает, что подход № 2 может быть предпочтительнее, если можно установить, что такое же целевое расстояние может быть достигнуто с помощью № 2, используя меньшее общее дельта-v двигателя, чем при подходе № 1.

Я начал с мысли, что, возможно, самый математически простой способ атаковать это — наблюдать за скоростью изменения орбитальной энергии, вызванной этими ожогами. Сколько дельта-v требуется, чтобы опустить перицентр на половину его текущего местоположения с круговой орбиты? Это должно быть сбалансировано с количеством дополнительной энергии, получаемой двигателем, работающим в перицентре, но означает ли уменьшение перицентра вдвое, что дельта-v здесь производит в 4 раза больше энергии, потому что орбитальная скорость в 4 раза выше? Или это 16 раз?

Но затем я понял, что круговая орбита радиуса N имеет гораздо большую орбитальную удельную энергию, чем высокоэллиптическая орбита с апоцентром N. Я не уверен, что понял доказательство, но перенос Хомана (например, подход № 1 формирует первую половину гомановского перехода), по-видимому, является наиболее эффективным способом достижения большей круговой орбиты. Однако второй ожог меня не интересует. Второй прожиг будет предназначен для установления орбиты вокруг тела-мишени, и мы надеемся, что им можно будет пренебречь. В любом случае это было бы не предсказуемо.

Я даже не могу решить, стоит ли это делать всегда, иногда или никогда!

Обновление: я подумал об этом немного больше, и возможно, что переход Хомана более или менее необходим, потому что очень низкая орбитальная скорость в апоапсисе для встречи с телом-мишенью не способствует установлению орбиты вокруг него: скорость должна быть близкий матч, чтобы добиться гравитационного захвата. В этом случае ответом на мой вопрос будет «Возможно, но ваши предположения ошибочны». Вполне возможно, что если мы находимся на орбите, которая на самом деле ретроградна по отношению к вашему телу-мишени, такая атака с высоким эксцентриситетом уменьшит обратное поперечное движение по прибытии в апоцентр, так что это одна вещь, которую я узнал (наткнулся) сегодня. .

Первоначальный вопрос остается в силе: можем ли мы заставить нашу орбиту развернуться дальше, намеренно уменьшая перицентр?

Ответы (1)

Орбитальная механика и ракетостроение: стоит ли намеренно занижать перицентр?

Роди Олденхейс · Answer 1

Давайте обобщим вашу идею и посмотрим, может ли она быть более экономичной, по крайней мере, в принципе .

Назовите свои две орбиты $\mho_1$ и $\mho_2$ . Оба имеют большую полуось $a_2$ и $a_2$ и наклонности $i_1$ и $i_2$ соответственно. Согласно проблеме,

а_{1} < а_{2}

$a_1<a_2$

я_{1} "=" я_{2}

$i_1=i_2$

и любые проблемы с этапами могут быть проигнорированы. Также,

р_{п 1} "=" р_{а 1}

$r_{p1} = r_{a1}$

р_{п 2} "=" р_{а 2}

$r_{p2} = r_{a2}$

т. е. апоцентрическое расстояние $r_a$ и перицентральное расстояние $r_p$ равны, так как $\mho_1$ и $\mho_2$ являются круговыми орбитами.

Сделаем также стандартные предположения:

Изменение скорости происходит мгновенно
Тяга дается точно параллельно направлению полета

Теперь давайте установим $\Delta V$ Требования к переносу Хомана. Для переноса Хомана требуется два прожига:

Один запуск в любом месте, чтобы вывести космический корабль на эллиптическую переходную орбиту Хомана (HTO) с перицентром на высоте. $a_1$ и апоцентр на высоте $a_2$ .
Один ожог в апоцентре HTO, чтобы уравнять скорость космического корабля со скоростью $\mho_2$ .

При условии

р_{п}^{ЧАС Т О} "=" а_{1}

$r_p^{HTO}=a_1$

р_{а}^{ЧАС Т О} "=" а_{2}

$r_a^{HTO}=a_2$

и что вообще для любой орбиты

а "=" \frac{р_{п} + р_{а}}{2}

$a = \frac{r_p+r_a}{2}$

В "=" \sqrt{мю (\frac{2}{р} - \frac{1}{а})}

$V = \sqrt{\mu\left(\frac{2}{r}-\frac{1}{a}\right)}$

(которое является уравнением живой природы ), легко вывести, что

В_{п}^{ЧАС Т О} "=" \sqrt{2 мю (\frac{- а_{1} + а_{2}}{а_{1} (а_{1} + а_{2})})}

$V_p^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{-a_1+a_2}{a_1(a_1+a_2)}\right)}$

В_{а}^{ЧАС Т О} "=" \sqrt{2 мю (\frac{а_{1} - а_{2}}{а_{2} (а_{1} + а_{2})})}

$V_a^{HTO} = \sqrt{2\mu\left(\frac{a_1-a_2}{a_2(a_1+a_2)}\right)}$

Вместе с круговыми скоростями $\mho_1$ и $\mho_2$ ,

В_{с 1} "=" \sqrt{\frac{мю}{а_{1}}}

$V_{c1} = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}$

В_{с 2} "=" \sqrt{\frac{мю}{а_{2}}}

$V_{c2} = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}$

мы можем вывести величины $\Delta V$ необходимый:

Δ В_{1}^{ЧАС Т О} "=" | В_{п}^{ЧАС Т О} - В_{с 1} | "=" \sqrt{\frac{мю}{а_{1}}} (\sqrt{\frac{2 а_{2}}{а_{1} + а_{2}}} - 1)

$\Delta V_1^{HTO} = \left| V_p^{HTO}-V_{c1} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right)$

Δ В_{2}^{ЧАС Т О} "=" | В_{а}^{ЧАС Т О} - В_{с 2} | "=" \sqrt{\frac{мю}{а_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 а_{1}}{а_{1} + а_{2}}})

$\Delta V_2^{HTO} = \left| V_a^{HTO}-V_{c2} \right| = \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right)$

и, конечно же,

Δ В_{ЧАС Т О} "=" Δ В_{1}^{ЧАС Т О} + Δ В_{2}^{ЧАС Т О}

$\Delta V_{HTO} = \Delta V_1^{HTO} + \Delta V_2^{HTO}$

Теперь мы проведем такой же анализ для другой вашей идеи. Назовите свою идею переносом с тремя прожигами (ТБТ). TBT следует по существу тем же шагам, за исключением того факта, что теперь есть 3 записи вместо 2:

Один запуск в любом месте, чтобы вывести космический корабль на эллиптическую переходную орбиту с перицентром на высоте. $r_3 < a_1$ и апоцентр на высоте $a_1$ . Большая полуось $a_3 = (r_3+a_1)/2$ . Назовите эту орбиту $\mho_3$ .
Один ожог в перицентре $\mho_3$ , чтобы вывести космический корабль на другую эллиптическую переходную орбиту с высотой перицентра $r_3$ и высота апоцентра $a_2$ . Большая полуось это $a_4 = (r_3+a_2)/2$ . Назовите эту орбиту $\mho_4$ .
Один ожог в апоцентре этой переходной орбиты, чтобы уравнять скорость космического корабля со скоростью $\mho_2$ .

Анализ следует точно таким же шагам, как и раньше, чтобы прийти к следующему:

\begin{matrix} Δ В_{1} & "=" & | В_{а}^{℧_{3}} - В_{с 1} | & "=" & \sqrt{\frac{мю}{а_{1}}} (1 - \sqrt{\frac{2 р_{3}}{а_{1} + р_{3}}}) \\ Δ В_{2} & "=" & | В_{п}^{℧_{4}} - В_{п}^{℧_{3}} | & "=" & \sqrt{\frac{2 мю}{р_{3}}} (\sqrt{\frac{а_{2}}{р_{3} + а_{2}}} - \sqrt{\frac{а_{1}}{р_{3} + а_{1}}}) \\ Δ В_{3} & "=" & | В_{а}^{℧_{4}} - В_{с 2} | & "=" & \sqrt{\frac{мю}{а_{2}}} (1 - \sqrt{\frac{2 р_{3}}{р_{3} + а_{2}}}) \end{matrix}

$\matrix{ \Delta V_1 &=& \left| V_a^{\mho_3}-V_{c1} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_1}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right)\\ \Delta V_2 &=& \left| V_p^{\mho_4}-V_p^{\mho_3} \right| &=& \sqrt{\frac{2\mu}{r_3}}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right)\\ \Delta V_3 &=& \left| V_a^{\mho_4}-V_{c2} \right| &=& \sqrt{\frac{\mu}{a_2}}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{r_3+a_2}}\right)}$

также, как прежде,

Δ В_{Т Б Т} "=" Δ В_{1} + Δ В_{2} + Δ В_{3}

$\Delta V_{TBT} = \Delta V_1 + \Delta V_2 + \Delta V_3$

Переставляя все это, ваш вопрос сводится к решению следующего неравенства для $r_3$ :

Δ В_{ЧАС Т О} > Δ В_{Т Б Т}

$\Delta V_{HTO} > \Delta V_{TBT}$

\to В_{с 1} (\sqrt{\frac{2 а_{2}}{а_{1} + а_{2}}} - 1) + В_{с 2} (1 - \sqrt{\frac{2 а_{1}}{а_{1} + а_{2}}}) > В_{с 1} (1 - \sqrt{\frac{2 р_{3}}{а_{1} + р_{3}}}) + В_{е с с, 3} (\sqrt{\frac{а_{2}}{р_{3} + а_{2}}} - \sqrt{\frac{а_{1}}{р_{3} + а_{1}}}) + В_{с 2} (1 - \sqrt{\frac{2 р_{3}}{а_{2} + р_{3}}})

$\rightarrow V_{c1}\left(\sqrt{\frac{2a_2}{a_1+a_2}}-1\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2a_1}{a_1+a_2}}\right) > \\V_{c1}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_1+r_3}}\right) + V_{\mathrm{esc},3}\left(\sqrt{\frac{a_2}{r_3+a_2}}-\sqrt{\frac{a_1}{r_3+a_1}}\right) + V_{c2}\left(1-\sqrt{\frac{2r_3}{a_2+r_3}} \right)$

Сделав несколько замен для краткости:

В_{с 1} А + В_{с 2} Б > В_{с 1} С + В_{е с с, 3} Д + В_{с 2} Е

$V_{c1} A + V_{c2} B > V_{c1} C + V_{\mathrm{esc},3} D + V_{c2} E$

Обратите внимание, что

В_{е с с, 3} Д \to В_{с 1} А

$V_{\mathrm{esc},3}D \rightarrow V_{c1}A$

Е \to Б

$E \rightarrow B$

С \to 0

$C \rightarrow 0$

когда $r_3 \rightarrow a_1$ . Также легко видеть, что

Д \to 0

$D \rightarrow 0$

Е \to 1

$E \rightarrow 1$

С \to 1

$C \rightarrow 1$

для $r_3 \rightarrow 0$ . С $0<A<1$ и $0<B<1$ , это значит $\Delta V_{TBT} > \Delta V_{HTO}$ .

Также легко видеть, что переход между этими двумя крайними состояниями плавный и монотонный.

Другими словами, значение правой части всегда превышает значение левой части. Поэтому трехжильный перенос с $r_3 < a_1$ вы предлагаете, никогда не бывает более эффективным, чем перенос Хохмана.

Заманчиво думать, что те же самые уравнения распространяются непосредственно на случаи, когда $r_3 > a_1$ . Если бы это было правдой, это привело бы к более эффективным трансферам, чем у Хоманна. Однако тогда вы забываете, что абсолютные знаки были заменены правильным порядком членов, который работает только в том случае, если первый член больше второго. Этот порядок меняется , когда $r_3 > a_1$ , переворачивая все знаки так, чтобы сумма $\Delta V_{TBT}$ увеличивается с увеличением $r_3$ . Это только в $r_3 = a_1$ что встречается минимальная энергия, т. е. передача Хомана.

Трансферы с тремя прожигами все еще используются. Например, многократные передачи могут быть использованы для облегчения той небольшой проблемы «фазирования», которую вы перешагнули в начале :) Или выполнить передачу с меньшим ускорением на запись, что полезно для полезных нагрузок, чувствительных к ускорению. Или, как покажут другие расчеты, намного эффективнее использовать перенос с тремя (или более) прожигами, если две орбиты $\mho_1$ и $\mho_2$ имеют существенно разные наклонности. Также может быть полезно, если другие элементы орбиты будут другими. Но на эту тему написаны целые книги, так что оставим это для следующего вопроса :)

> "Намного эффективнее использовать перенос с тремя (или более) прожигами, если две орбиты $\mho_1$ и $\mho_2$ имеют значительно разные наклонения». Верно, но в более общем смысле три прожигания могут быть более эффективными, если две орбиты находятся в существенно разных плоскостях — или, даже в более общем случае, если две орбиты имеют значительно разные векторные угловые моменты.
@JimVanZandt «Разные наклонения» равны разным орбитальным плоскостям и разным векторам углового момента; все это разные формулировки одной и той же основной концепции.

Орбитальная механика и ракетостроение: стоит ли намеренно занижать перицентр?

Стивен Лу

Ответы (1)

Роди Олденхейс

Джим Ван Зандт

Роди Олденхейс

Путь снаряда дальше от Земли

Какую максимальную скорость космический корабль может разогнать с помощью гравитации?

Основной вопрос об орбитальной скорости

Как ученые выводят спутники на орбиту?

Доказательство того, что гравитационный потенциал — это работа, совершаемая объектом против силы тяжести, при увеличении KE и уменьшении PE.

Изменение орбиты радиальным импульсом

Почему так долго лететь до МКС?

Решение проблемы сохранения энергии с помощью гравитационного потенциала?

Всегда ли гравитационный потенциал планеты на орбите равен минус квадрат скорости?

Планета с квадратной орбитой?