Каково представление группы Лоренца для общего спина?

Ладно, найти ответ было не так сложно, как я ожидал. Тем не менее, любые уточнения/критика приветствуются.

Вайнберг в основном дает ответ в разделе 5.6 своей книги QFT:

Общий тензор ранга N преобразуется как прямое произведение N (1/2, 1/2) четырехвекторных представлений. Поэтому его можно разложить (с помощью подходящих симметризаций и антисимметризаций и извлечения следов) на неприводимые члены (А, В) с А = N/2, N/2-1,... и В = N/2, N/2- 1,... . Таким образом, мы можем построить любое неприводимое представление (A,B), для которого A + B является целым числом. Спиновые представления, для которых А + В — половина нечетного целого числа, могут быть построены аналогичным образом из прямого произведения этих тензорных представлений и представления Дирака$(1/2,0)\oplus(0,1/2)$.

Так что, похоже, нет простого способа унифицировать представления для спинорных и векторных генераторов, но можно построить генератор для произвольных полуспинов: он имеет столько же копий$M$по мере необходимости, плюс одна копия$S$если это полуцелое число.

Однако обратное неверно. То есть поле со спином два должно преобразовываться с двумя копиями$M$, но это не гарантирует, что объект имеет спин-два. Контрпримером является электромагнитный тензор$F$, что, безусловно, спин-один. Разница заключается в возможности приравнять два генератора в результате свойств симметрии тензора, как подробно описано в этом ответе .

Применяя это к полю со спином 3-2, мы ожидаем, что у него будет генератор вращения, который схематично выглядит как$S \otimes I+ I \otimes M$. И это действительно так: эквивалентом уравнения Дирака для спина 3/2 являются уравнения Рариты-Швингера:

$\gamma_a \psi^{a}_\mu=0$,

$(i \gamma^\rho \partial_\rho-m)\psi^{a}_\mu=0$

Который трансформируется как$\psi'^b _\nu=(\Lambda_\nu^\mu \otimes T^b_a) \psi_\mu^a$,

образующими которых являются указанная выше комбинация$M$и$S$.