Почему антикоммутативности спиноров недостаточно в качестве «теоремы о спиновой статистике»?

Вы совмещаете много разных аспектов.

Во-первых, спиноры — это просто элементы фундаментального представления универсальной накрывающей группы Лоренца, т. е. SL(2,$\mathbf{C}$). Имеются два неэквивалентных фундаментальных представления такой группы, а именно определяющее ($(1/2,0)$; элементы$\xi^i$, комплексные, следовательно, коммутирующие числа) и сопряженное ($(0,1/2)$; элементы$\bar \xi^i$, комплексные — следовательно, коммутирующие — числа). Мы идентифицируем спин этого представления как$1/2$, поэтому мы хотели бы описать ими фермионы.

До сих пор антикоммутативность не введена.

Из КТП известно, что микропричинность соблюдается, если мы квантуем фермионные поля с антикоммутационными соотношениями, такими как

$$\begin{equation} \{\Psi(t, \vec x),\Psi^\dagger(t, \vec y)\} \sim i\hbar\delta^3(\vec x -\vec y). \end{equation}$$ Обратите внимание, что на самом деле это формулировка теоремы о спиновой статистике. В классическом пределе ( $\hbar \to 0$) правая часть этого уравнения исчезает, и мы не знаем, как понять его с помощью «обычных» чисел. По этой причине мы вводим числа Грассмана, т. е. антикоммутирующую алгебру над вещественными числами. Учитывая два элемента $a$, $b$этой алгебры, они таковы, что $ab =- ba$

Теперь мы хотим свести воедино два вышеупомянутых момента и, следовательно, мы используем спиноры антикоммутирующих чисел для классического описания фермионных полей. Например сейчас$\xi^i$является дублетом комплексных антикоммутирующих чисел, т.е.$\xi^i \chi^j = - \chi^j \xi^i$для двух антикоммутирующих спиноров$\xi^i$и$\chi^i$.

Другими словами, мы используем антикоммутирующие числа, чтобы иметь классический аналог квантового антикоммутатора, требуемого теоремой о спиновой статистике.

Более того, я думаю, что что-то не так с вашим внутренним произведением: в первом знаке '=' отсутствует минус из-за того, что вы переставили два антикоммутирующих числа, а это произведение действительно симметрично:

$$\begin{align} \chi \xi \equiv \chi^i \epsilon_{ij} \xi^j = - \xi^j \epsilon_{ij} \chi^i = - \xi^i \epsilon_{ji} \chi^j = \xi^i \epsilon_{ij} \chi^j \equiv \xi \chi \end{align}$$

Это недостаточное доказательство теоремы о спиновой статистике, потому что оно имеет мало общего с тем, что говорит теорема о спиновой статистике . Во-первых, эта теорема является утверждением об операторах, в то время как свойство, обсуждаемое в OP, касается исключительно классических полей.

Позволять$a$— оператор, который преобразуется по представлению$r$группы Лоренца$\text{Spin}(1,d-1)$. (Это представление не обязательно должно быть неприводимым, но если оно приводимое, оно должно быть однородным относительно$\pi_1(\text{SO}(1,d-1))=\mathbb Z_2$). Мы говорим$a$является бозонным, если$r$поднимает к представлению$\text{SO}(1,d-1)$, и фермионные в противном случае. Другими словами,$a$является бозонным (соответственно фермионным), если он коммутирует (соответственно антикоммутирует) с$(-1)^F\in\text{Spin}(1,d-1)$, где$(-1)^F$обозначает образ$2\pi$вращение в

$$\mathbb Z_2\hookrightarrow\text{Spin}(1,d-1)\twoheadrightarrow\text{SO}(1,d-1)$$

Пусть также$[\,\cdot\,,\,\cdot\,]$обозначают коммутатор, а$\{\,\cdot\,,\,\cdot\,\}$антикоммутатор.

Имея в виду эти определения, теорема о спиновой статистике утверждает следующее: пусть$a_1(x),a_2(x)$быть двумя (не обязательно различными) бозонными операторами. Если$\{a_1(x),a_2(y)\}=0$для космических$x-y$, затем$a_i(x)$должно быть банально. Точно так же, если$a_i(x),a_2(x)$являются фермионными операторами, и$[a_1(x),a_2(y)]=0$для космических$x-y$, затем$a_i(x)$должно быть банально.

Обратите внимание, что мы не говорим, что бозонные операторы должны коммутировать, а фермионные операторы должны быть антикоммутативными. Вместо этого мы говорим, что другой вариант ведет к тривиальной теории и поэтому в некотором смысле «запрещен». Конечно, это не исключает других возможностей, поэтому теорема не является абсолютно ограничительной. (В любом случае см. этот пост PSE для более подробного обсуждения).

Анализ в ОП не доказывает это утверждение, и поэтому он не является доказательством теоремы о спиновой статистике. Тем не менее, это хорошая мотивация того, почему такая теорема может быть верна в первую очередь. Так что это действительно не «большой сюрприз», что теорема верна, но аргумент определенно не является доказательством, даже на уровне или строгости физики. (И не забывайте, что приведенная выше теорема о спиновой статистике верна для любого$d$; но существование симметричной или антисимметричной билинейной формы для фермионов очень сильно зависит от размерности, где свойства реальности иррепов Лоренца имеют хорошо известную периодичность по модулю 8 (Ботта); недавняя статья Виттена и Йонекуры 1909.08775 отлично описывает детали).