Безмассовый предел для поля Дирака

Question

Безмассовый предел для поля Дирака

Физика
спиноры
Лоренц-симметрия
специальная теория относительности
квантовая теория поля
теория представлений

ЛФХ

Я немного смущен тем, как взять безмассовый предел поля Дирака:

\begin{aligned} ψ (Икс) "=" \int \frac{г^{3} п}{(2 π)^{2}} \frac{1}{\sqrt{Е_{п}}} \sum_{с} (а_{п}^{с} {ты}^{с} (п) е^{- я п Икс} + б_{п}^{с †} в^{с} (п) е^{я п Икс}), \end{aligned}

$\begin{align} \psi(x)=\int\frac{d^3p}{(2\pi)^2}\frac{1}{\sqrt{E_p}}\sum_{s}\left(a_p^su^s(p)e^{-i p x}+b_p^{s\dagger}v^s(p)e^{ip x}\right)\,,\label{Dirac} \end{align}$

EDITED: Каковы правильные $u^s(p)$ и $v^s(p)$ если масса равна нулю? Для массивных частиц Пескин и Шредер дают выражение:

\begin{aligned} {ты}^{с} (п) "=" (\begin{matrix} \sqrt{п \cdot о} ξ^{с} \\ \sqrt{п \cdot \bar{о}} ξ^{с} \end{matrix}), в^{с} (п) "=" (\begin{matrix} \sqrt{п \cdot о} η^{с} \\ - \sqrt{п \cdot \bar{о}} η^{с} \end{matrix}) \end{aligned}

$\begin{align} u^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\xi^s\\ \sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\xi^s \end{array}\right)\,,\qquad v^s(p)=\left(\begin{array}{c} \sqrt{p\cdot \sigma}\,\eta^s\\ -\sqrt{p\cdot \overline{\sigma}}\,\eta^s \end{array}\right) \end{align}$ Если я возьму безмассовый предел для

u^{s} (p)

$u^s(p)$ с

p

$p$ указывая на

z

$z$ -направление, я нахожу

\begin{aligned} {ты}^{1} (\vec{п}) "=" \sqrt{Е} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{matrix}), {ты}^{2} (\vec{п}) "=" \sqrt{Е} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}), \end{aligned}

$\begin{align} u^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ 1\\0 \end{array}\right)\,,\quad u^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,, \end{align}$ где я использовал

ξ^{1} = (1, 0)

$\xi^1=(1,0)$ и

ξ^{1} = (0, 1)

$\xi^1=(0,1)$ . Если я сделаю то же самое для

v

$v$ , Я нахожу

\begin{aligned} в^{1} (\vec{п}) "=" \sqrt{Е} (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ - 1 \\ 0 \end{matrix}), в^{2} (\vec{п}) "=" \sqrt{Е} (\begin{matrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) . \end{aligned}

$\begin{align} v^1(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 0\\ -1\\0 \end{array}\right)\,,\quad v^2(\vec{p})=\sqrt{E}\left(\begin{array}{c} 0\\ 1\\ 0\\0 \end{array}\right)\,. \end{align}$ Это означает, что у нас нет

{\bar{u}}^{i} (p) v^{j} (p) = 0

$\overline{u}^i(p)v^j(p)=0$ . Я думал, что для каждого фиксированного импульса

p

$p$ , множества спиноров

v^{i} (p)

$v^i(p)$ и

u^{i} (p)

$u^i(p)$ промежуток с

i = 1, 2

$i=1,2$ каждый охватывает двумерное пространство, а именно

s p a n (v^{1} (p), v^{2} (p))

$\mathrm{span}(v^1(p),v^2(p))$ и

s p a n (u^{1} (p), u^{2} (p))

$\mathrm{span}(u^1(p),u^2(p))$ которые ортогональны друг другу. Однако из приведенных выше пределов кажется, что это уже не так в безмассовом пределе (очень большой импульс). Я неправильно взял пределы или пропустил важный момент?

Прахар

Я голосую за то, чтобы закрыть этот вопрос как не относящийся к теме, потому что он показывает недостаточное исследование. Эти вопросы обсуждаются практически в любой книге по КТП, которую вы возьмете в руки (я предлагаю Средницкого).

ЛФХ

Возможно мой вопрос был не очень корректно сформулирован. Я использовал Peskin & Schroeder и нашел обсуждение безмассового предела, где они объясняют, что спиноры становятся вырожденными. Немного перефразирую свой вопрос. Это все еще простой вопрос, но не совсем тривиальный (по крайней мере, не для меня прямо сейчас).

Прахар

u

$u$ и

v

$v$ никогда не смешивать при правильных ортохронных преобразованиях Лоренца, независимо от того,

p

$p$ безмассовые или массивные.

ЛФХ

Привет, Прахар, я думаю, я не очень хорошо объяснил. Ясно, что для разных импульсов

v

$v$ и

u

$u$ можно смешивать. Данный

u^{s} (p)

$u^s(p)$ и

v^{r} (q)

$v^r(q)$ , между ними может быть перекрытие. Для тех же импульсов

p

$p$ ,

u^{s} (p)

$u^s(p)$ и

v^{r} (p)

$v^r(p)$ охватывают ортогональные подпространства. Однако я почему-то не мог правильно принять безмассовый предел, и похоже, что пространства смешиваются в безмассовом пределе. В основном об этом был мой вопрос.

Хиггсс

Обратите внимание, что «пространственные волновые функции», соответствующие

u (p)

$u(\textbf{p})$ и

v (p)

$v(\textbf{p})$ соответственно

e^{i p \cdot r}

$e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ и

e^{- i p \cdot r}

$e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Поскольку «пространственные волновые функции» для

u (p)

$u(\textbf{p})$ и

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ одинаковы, соответствующие спинорные части, которые

u (p)

$u(\textbf{p})$ и

v (- p)

$v(-\textbf{p})$ сами по себе должны быть ортогональны друг другу, как это и есть на самом деле.

Ответы (1)

Безмассовый предел для поля Дирака

Я голосую за то, чтобы закрыть этот вопрос как не относящийся к теме, потому что он показывает недостаточное исследование. Эти вопросы обсуждаются практически в любой книге по КТП, которую вы возьмете в руки (я предлагаю Средницкого).
Возможно мой вопрос был не очень корректно сформулирован. Я использовал Peskin & Schroeder и нашел обсуждение безмассового предела, где они объясняют, что спиноры становятся вырожденными. Немного перефразирую свой вопрос. Это все еще простой вопрос, но не совсем тривиальный (по крайней мере, не для меня прямо сейчас).
$u$ и $v$ никогда не смешивать при правильных ортохронных преобразованиях Лоренца, независимо от того, $p$ безмассовые или массивные.
Привет, Прахар, я думаю, я не очень хорошо объяснил. Ясно, что для разных импульсов $v$ и $u$ можно смешивать. Данный $u^s(p)$ и $v^r(q)$ , между ними может быть перекрытие. Для тех же импульсов $p$ , $u^s(p)$ и $v^r(p)$ охватывают ортогональные подпространства. Однако я почему-то не мог правильно принять безмассовый предел, и похоже, что пространства смешиваются в безмассовом пределе. В основном об этом был мой вопрос.
Обратите внимание, что «пространственные волновые функции», соответствующие $u(\textbf{p})$ и $v(\textbf{p})$ соответственно $e^{i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ и $e^{-i\textbf{p} \cdot \textbf{r}}$ . Поскольку «пространственные волновые функции» для $u(\textbf{p})$ и $v(-\textbf{p})$ одинаковы, соответствующие спинорные части, которые $u(\textbf{p})$ и $v(-\textbf{p})$ сами по себе должны быть ортогональны друг другу, как это и есть на самом деле.

Имя ГГГ · Answer 1

По определению коэффициент $u_{s}(p)$ это спинор перед $e^{-ipx}$ , а коэффициент $v_{s}(p)$ это спинор перед $e^{ipx}$ . Непрерывных преобразований Лоренца, меняющих знак энергии, не существует, поэтому ваше утверждение о смешении $u_{s}(p)$ и $v_{s}(p)$ непонятно.

С другой стороны, заметим, что для любой массы существование члена $v_{s}(p)e^{ipx}$ требуется по принципу причинности: для любых двух операторов $A(x), B(y)$ составленный из релятивистских (фермионных) полей $\psi$ среднее значение $[A(x),B(y)]$ равен нулю для пространственноподобных интервалов, что отражено в требовании $[\psi(x),\psi^{\dagger}(y)]_{+} = 0$ для космических $(y-x)^{2}$ с. Последнее невозможно без $v_{s}$ срок.

Обратите также внимание на то, что $u_{s}(\mathbf p)$ и $v_{s}(\mathbf p)$ связаны друг с другом, потому что поле $\psi(x)$ должны быть определенным образом преобразованы, как представляющие частицу с заданными спином (спиральностью) и массой, при преобразованиях Лоренца. Например, для массивного случая такое соотношение имеет вид

{ты}_{с} (п) "=" (- 1)^{с + \frac{1}{2}} γ_{5} в_{- с} (п)

$u_{s}(\mathbf p) = (-1)^{s+\frac{1}{2}}\gamma_{5}v_{-s}(\mathbf p)$ Поскольку уравнение Дирака имеет правильный безмассовый предел, такое соотношение выполняется в безмассовом случае.

Обновлять

Я не понимаю, почему вы смущены. Безмассовый предел не требует $u, v$ охватывать разные подпространства; это потому, что античастица, очевидно, не исчезает с $m\to 0$ . Скорее разные подпространства охватываются $u_{s}, u_{-s}$ и $v_{s}, v_{-s}$ соответственно, что является просто утверждением о том, что уравнение Дирака расщепляется на два уравнения Вейля $\sigma^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ и $\tilde{\sigma}^{\mu}p_{\mu}\psi(p) = 0$ .

Спасибо за ваш ответ. Я полностью согласен с вами на уровне полного решения, содержащего часть волновой функции. Когда я говорил о спиноре, я имел в виду только четырехкомпонентный спинор. теперь я понимаю, что $v$ и $u$ не смешивать для одинаковых импульсов (другими словами: $u(p)$ и $v(p)$ подпространства инвариантно ортогональны под действием малой группы, связанной с $p$ ). Я также пояснил в своем вопросе, что меня все еще смущает...
Что ты имеешь в виду под $u_{-s}$ ? Я предполагаю, что вы имеете в виду, что $u^s(\vec{p})$ всегда охватывает ортогональное подпространство $v^s(-\vec{p})?$ ? Я полагаю, это то, что я перепутал, потому что в своей работе я сосредоточился на массивных спинорах с $\vec{p}=0$ , так что там это не имело значения. Я думаю, это проясняет это для меня. Спасибо!
@LFH: я имел в виду, что $u_{1/2}(p)$ и $u_{-1/2}(p)$ происходят из разных подпространств, которые не смешиваются в безмассовом случае. Но нет $u_{s},v_{s}$ .
Я не уверен, что понял ваше разъяснение. Что вы подразумеваете под $u_{-1/2}(p)$ . Что я понял до сих пор: для заданного 3-импульса $\vec{p}$ , есть четыре базисных вектора, которые охватывают 4-мерное спинорное пространство: а именно, первый $u_s(\vec{p})$ для $s=1,2$ и $v_s(-\vec{p})$ для $s=1,2$ . Более того, они охватывают два двумерных подпространства, которые ортогональны друг другу. Я не знаю, что вы имеете в виду, если индекс, превышающий 1,2, получает знак минус.
@LFH: я просто хотел сказать, что значения $\pm 1/2$ соответствуют разным спиральностям, которые в пределе $m\to 0$ отделяются друг от друга в том смысле, что их нельзя изменить с помощью непрерывных преобразований Лоренца.
Спасибо за все ваши комментарии, но я все еще в замешательстве. Я также думаю, что моя первоначальная мысль, которую я понял, была неверной. Я уточню свой вопрос и, возможно, вы сможете его прокомментировать...

Безмассовый предел для поля Дирака

ЛФХ

Прахар

ЛФХ

Прахар

ЛФХ

Хиггсс

Ответы (1)

Имя ГГГ

ЛФХ

Имя ГГГ

ЛФХ

Имя ГГГ

ЛФХ

Имя ГГГ

ЛФХ

(A,B)(A,B)(A,B)-представление группы Лоренца: коэффициентные функции полей

Спинорные точечные и непунктирные индексы

Чем спинорные индексы отличаются от пространственно-временных или индексов Лоренца?

Понимание спинора: КТП против чистой теории представлений

Каково представление группы Лоренца для общего спина?

Как вывести закон преобразования спинора Вейля при преобразовании Лоренца?

Представление, при котором матрицы Паули преобразуются

Как построить поля из унитарного представления группы Пуанкаре?

(12,12)(12,12)(\frac{1}{2},\frac{1}{2}) представление SU(2)⊗SU(2)SU(2)⊗SU(2)SU (2)\otimes SU(2)

Как отличить спинор от 4-вектора?