Каковы последствия ограничений теории множеств ZFC?

ZFC достаточно прост, чтобы его можно было легко аксиоматизировать, и может быть принят большинством математиков (некоторые этого не сделали), и достаточно сложен, чтобы задавать хорошие вопросы, на которые можно найти подходящие ответы. После аксиоматизации и достаточного понимания можно рассмотреть более сложные теории множеств, используя ZFC в качестве основы.

Один из аспектов более сложных теорий множеств состоит в том, чтобы думать об аксиоме бесконечности. Обычная в ZFC — простейшая бесконечная аксиома. Есть ряд других — обычно известных как большие кардинальные аксиомы — которые выстраиваются в линейную иерархию теоретико-доказательной силы. То есть вы можете использовать их для доказательства более сильных утверждений, например, Гентцен использовал одно, чтобы показать, что арифметика Пеано в темпе Гёделя непротиворечива. Это увеличение размера наборов можно рассматривать как включающее классы и многое другое.

Другой — ослабление аксиомы экстенсиональности, так что множества с точно такими же элементами не одинаковы, а просто неразличимы (в терминологии Либница), или в традиционной математической терминологии — изоморфны. Этот путь более полно разработан в теоретико-топосной версии теории множеств или ETCS. Далее, видя, что ETCS является специализированным топосом, можно рассматривать сами топосы как обобщенную теорию множеств, и заметно, что в категории топосов конечным объектом является множество, что говорит об основополагающем аспекте ZFC. Но также и то, что конструкция форсирования, введенная Коэном, принимает здесь геометрическую форму — можно рассмотреть топос Коэна, который использует топологию двойного отрицания — это конструкция, которую Гёдель/Гентцен использовал для встраивания классической логики в интуиционистскую логику для моделирования форсирования.

Другой угол смотрит на Выбор. ZFC на самом деле ZF+Choice. Выбор был аксиомой, которая с момента ее введения имела противоречивые последствия. Это корень неизмеримых множеств и парадокса Банаха-Тарского. Его отрицание приводит к идее конструктивной математики. Там, где недостаточно просто констатировать существование какого-либо математического объекта, его нужно еще и сконструировать. Обычно также отрицается LEM - закон Исключенного Середины. Здесь следует оперировать множествами не в классической логике, а в интуиционистской логике.

Интересно, что топосы, если рассматривать их как обобщенные теории множеств, имеют в качестве своей внутренней логики интуиционистскую логику. У них также есть размерность, поэтому топосы более высокого уровня, и фактически бесконечномерные топосы имеют в качестве своей логики теорию зависимых типов Мартина-Лофа, которая связывает ее с идеями вычисления. Кроме того, ее особый вариант, интенсионал Мартина-Лофа, можно интерпретировать как гомотопическую теорию типов, которая затем вводит геометрию (также известную как гомотопия) в теорию типов.

При этом следует отметить, что здесь предлагается связать три направления современной математики естественным образом - логику, геометрию и множества.

Наконец, можно заметить, что ZFC — это теория множеств вместе с логикой первого порядка. Можно поменять логику на другую. Интуиционистская логика была упомянута выше, но есть также паранепротиворечивая логика (которая в некотором смысле двойственна интуиционистской логике), которая, отрицая принцип взрыва, допускает противоречивые утверждения, каким-то образом несоответствия контролируются, чтобы не влиять друг на друга. Затем возникает противоречивая теория множеств — и получаются довольно интересные математические результаты — например, можно предположить существование универсального множества и множества Рассела — оба из которых приводят к парадоксам в ZFC. В качестве еще одного положительного качества он подтверждает континуум-гипотезу (отрицательно).

Все вышеперечисленное есть в философии математики.

В «Философии в целом» можно отметить, что, например, французский философ и маоист Бадью явно использует ZFC в своей философии любви, политики и искусства. Он называет ZFC онтологией истины. Это объясняется в его книге « Бытие и событие », а в « Логике миров» он обращается к теории топоса, чтобы еще больше расширить ход своей мысли. Как это работает, я не слишком уверен...