Какой у меня dMdM\mathrm dM? Гравитационный потенциал внутри круга масс

Я пытаюсь найти гравитационный потенциал для произвольной точки в кольце с одинаковой плотностью массы. Точка должна находиться в той же плоскости, что и кольцо.

Итак, мы начинаем с:

Φ "=" ∫ г г М р

Предположим, что точка интереса находится вдоль Икс ось р от начала координат (которое находится в центре кольца). Произвольная точка на кольце лежит в:

а потому что ⁡ ф Икс ^ + а грех ⁡ ф у ^

И, конечно же, самое интересное:

р Икс ^

Тогда расстояние между интересующей точкой и произвольной точкой на кольце равно:

р 2 − 2 а р потому что ⁡ ф + а 2

Возвращаясь к интегралу выше, мы получаем:

Φ "=" ∫ г г М р 2 − 2 а р потому что ⁡ ф + а 2

Прохладный. Я очень счастлив до этого момента, но что мне делать с г М ? Будь я в центре круга, я бы использовал г М "=" р г ф . Но я чувствую, что это не должно быть так просто, если центр моей интеграции не является центром круга. Должен ли я использовать

р 2 − 2 а р потому что ⁡ ф + а 2 г ф   ?
Я здесь совсем не в теме?

Ответы (3)

Я думаю, что следующая схема должна помочь:

введите описание изображения здесь

Совершенно законно (и упрощает математику) использовать центр круга как «центр интегрирования», если вы используете правильное значение г для расстояния до элемента массы г М .

Таким образом, ваше уравнение для потенциала должно использовать г "=" а 2 + р 2 − 2 а р потому что ⁡ ф , и тогда можно все выразить через угол ф и общая масса кольца, М :

Φ "=" ∫ г г М г "=" ∫ г М г ф 2 π а   г "=" ∫ 0 2 π г М г ф 2 π а   а 2 + р 2 − 2 а р потому что ⁡ ф

г М просто р г В , где р это плотность и г В является элементом объема. В вашем случае тогда г М "=" дельта ( р − р ) дельта ( θ − π / 2 ) λ р 2 г р г θ г ф "=" λ р г ф

Можете ли вы объяснить обозначение дельта ( р − р ) Θ ( θ − π / 2 ) ? Это просто функциональная форма плотности и угла? Почему они принимают аргументы, которые вы им приводите?
в Θ должен был быть дельта (отредактировано). Это просто формальный способ сказать, что плотность равна нулю везде, кроме θ "=" π / 2 и р "=" р , то есть кольцо..
Ах. дельта является функцией Дирака. Я понимаю. Чтобы перейти от середины вашей второй строки вправо, вы просто интегрируете wrt θ и р ? Это все еще держится с г М является частью интеграла выше? Где есть р членов в другом месте интеграла?
Да, вы замените р членов в интеграле с р , так что есть только одно интегрирование по ф

Это зависит от того, бесконечно ли тонкое кольцо? Другими словами, они дают вам λ (плотность на длину) или р (плотность на единицу объема). Если они дают λ , затем г М "=" λ р г ф . Это потому что р г ф является дифференциальной длиной, и умножив ее на λ дает вам дифференциальную массу в этой точке. Затем вы просто интегрируете из ф "=" 0 к ф "=" 2 π .

Еще формула, вы можете сделать то, что еще опубликовал Мартин Юдинг, и интегрировать по всему пространству и включить дельта-функции Дирака в плотность, так что, в конце концов, вы все равно получите только ненулевой вклад от интегрирования по кольцу.

Какой у меня dMdM\mathrm dM? Гравитационный потенциал внутри круга масс
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v