Какую работу может совершить сила, действующая на пружину? (Почему два метода неверны?)

Что не так с методом 2, а также с методом 3, так это то, что

$$x_{max} = F/k$$ не действует! Когда вы прикладываете силу F к телу, вы также сообщаете ему кинетическую энергию. $x = F/k$это смещение, при котором результирующая сила, испытываемая им, становится равной нулю, но на этом оно не останавливается. Это продолжается до тех пор, пока его скорость не станет равной нулю из-за натяжения пружины.

В этот момент вся его энергия находится в форме потенциальной энергии пружины, как указано в решении.

В то время как другие ответы могут уже показать, почему решение книги правильное, вот еще одна точка зрения, которая может помочь:

Какова результирующая сила, действующая на объект?

$$F_{net} = F + F_{spring}$$ $$= F - kx$$

Это формула, которая дает вам положение равновесия$x_0=F/k$, так что давайте немного сдвинем нашу систему координат так, чтобы$x'_0=0$, т.е.$x' = x - F/k$.

Какова теперь результирующая сила в нашей новой системе координат, где равновесие находится в 0?

$$F_{net} = F - kx$$ $$= F - k(x' + F/k)$$ $$= -kx'$$

Ой, подождите, в этой системе координат сила, действующая на объект, пропорциональна его перемещению — это гармонический осциллятор!
Исходное положение — это максимальное смещение в одном направлении, и, как мы знаем из гармонических осцилляторов, максимальное смещение в другом направлении равно расстоянию, поэтому полный диапазон колебаний этого объекта равен$x_{max}=2 F/k$.

Вместе с обычной формулой$W=Fx_{max}$вы получите тот же результат, что и книга. Вы также можете выбрать сохранение энергии, так как вся энергия при максимальном перемещении запасается в пружине, а объект не движется, что является третьей строкой, которую вы цитировали из книги,$W=\frac{1}{2}kx_{max}^2$. Это кстати. также энергия гармонического осциллятора.

Или короче: оба ваших метода работают, если вы выберете правильный макс. смещение.

Я попытался дать основу для решения, данного в учебнике.

---

Запасенная или высвобожденная энергия определяется выражением$\int \vec f \cdot d \vec x$и важно отметить, что сила$\vec f$ зависит от расширения$\vec x$.
Это отношение обычно записывается как$\vec f = - k \vec x$с силой$\vec f$будучи силой, действующей пружиной на внешний объект, поэтому соотношение для (внешней) силы, действующей на пружину, имеет положительный знак.

Таким образом, запасенная/высвобожденная энергия равна$\displaystyle \int_0^x kx \,dx = \frac 12 kx^2$

---

Пусть статическое удлинение пружины под действием силы$F$применяется быть$x_o$и так$F=kx_o$а запасенная в пружине энергия равна$\frac 12 kx^2_o$.

Ситуация в задаче отличается тем, что постоянная сила$F$прилагается, и работа, совершаемая силой при переходе в положение статического растяжения, равна$Fx_o$.
При перемещении массы в это статическое положение растяжения сила$F$также ускорил массу.
Таким образом, масса также обладает кинетической энергией, которую необходимо учитывать, если нужно найти полную работу, совершаемую силой.$F$с точки зрения$k$и$F$.

Теперь кинетическая энергия должна быть работой силы$Fx_o= kx^2_o$минус энергия, запасенная в пружине$\frac 12 kx^2_o$.
Итак, кинетическая энергия$\frac 12 kx^2_o$.

Обратите внимание, что хотя результирующая сила, действующая на массу в положении статического растяжения, равна нулю, масса движется и, таким образом, превышает положение статического равновесия, а сила$F$продолжает совершать работу, так как направление приложенной силы и ее перемещение остаются в одном и том же направлении.

---

Пусть расширение, когда масса наконец остановится, будет$x_{\max}$.
Это происходит, когда работа, совершаемая силой, сохраняется в виде потенциальной энергии пружины.$FX=\frac12kx_{\max}^2$и это уравнение, данное в решении учебника.

С использованием$F=kx_o$дает$x_{\max}= 2x_o$.

Значит, максимальная работа, совершенная силой$F$является$F\,2x_o=\dfrac{2F^2}{k}$