Калибровочная инвариантность θθ\тета-терма в КХД

у меня проблема с θ -член в КХД-лагранжиане

л "=" д ¯ ( Икс ) я γ мю Д мю д ( Икс ) − д ¯ ( Икс ) М д − 1 4 Ф мю ν а Ф а мю ν + θ г 2 32 π 2 Ф мю ν а Ф ~ а мю ν

Я предполагаю, что последний член сам по себе является калибровочным инвариантом, поскольку он пропорционален следу:

т р ( Ф мю ν Ф ~ мю ν ) "=" 2 ϵ мю ν р о т р [ ( ∂ мю А ν + я г А мю А ν ) ( ∂ р А о + я г А р А о ) ]

Но с другой стороны θ -терм топологически нетривиален и интеграл

∫ д 4 Икс     т р [ Ф мю ν Ф ~ мю ν ] "=" ∫ д 4 Икс     ∂ мю К мю
пропорциональна н е Z (номера обмотки) и не инвариантна относительно больших калибровочных преобразований.

Какой шаг неверный? И если θ -терм не является калибровочно-инвариантным, как мы можем решить эту проблему в лаграниане?

Ответы (1)

Проблема в том, что К мю не является истинным вектором на многообразии. Это зависит от калибровочного потенциала А а также калибровочное поле Ф . Можно использовать теорему Стокса для этих типов объектов локально на координатных путях, но не глобально на всем многообразии.

Предположим, что интегрирование закончено С 4 . Разделим интегрирование на две части, по верхней полусфере и по нижней полусфере, касаясь экватора С 3 . Мы знаем, что на каждом полушарии (я использую безкоординатную запись)

т р ( Ф ∧ Ф ) "=" д С С ( А )
Где С С ( А ) является классом Черна-Саймонса. Используя теорему Стокса
∫ С 4 т р ( Ф ∧ Ф ) "=" ∫ Д ты п 4 д С С ( А ты п ) + ∫ Д д о ш н 4 д С С ( А д о ш н ) "=" ∫ С 3 С С ( А ты п ) − С С ( А д о ш н )
Локальные калибровочные потенциалы А ты п и А д о ж н связаны транзитным калибровочным преобразованием
А ты п "=" г А д о ш н г − 1 + г д г − 1

Известно, что классы Черна-Саймонса не являются калибровочно-инвариантными, они изменяются по форме Весса-Зумино-Виттена при калибровочном преобразовании:

С С ( г А д о ж н г − 1 + д д г − 1 ) − С С ( А д о ж н ) "=" Вт Z Вт ( г )
Таким образом получаем:
∫ С 4 т р ( Ф ∧ Ф ) "=" ∫ С 3 Вт Z Вт ( г )
Для нетривиальных конфигураций, таких как инстантоны, калибровочные преобразования перехода являются большими калибровочными преобразованиями, для которых преобразование Весса-Зумино-Виттена не равно нулю (это число оборотов конфигураций группы перехода).

Спасибо за Ваш ответ. Для т р ( Ф ∧ Ф ) "=" д С С ( А ) ≠ 0 мы получаем неинвариантный лагранжиан при С U ( 3 ) с но как можно решить эту проблему?
Мы это не исправим. Мы рассматриваем большие калибровочные преобразования как симметрии теории, а не как калибровочные избыточности в описании системы. (Группа больших калибровочных преобразований дискретна, поэтому она не сильно уменьшает бесконечномерную группу локальных калибровочных преобразований).
продолжение Более того, добавляя θ мы поверхностно нарушаем большую калибровочную симметрию, потому что лагранжиан не инвариантен. Однако, поскольку уравнения движения инвариантны, это квазисимметрия, и после квантования мы можем найти гильбертово пространство с инвариантным действием большого калибровочного преобразования. Это гильбертово пространство, построенное над тета-вакуумом.
Калибровочная инвариантность θθ\тета-терма в КХД
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v