Почему в КХД сохраняется цвет?

Глобальная инвариантность относительно$SU(N)$эквивалентно сохранению$N^2-1$заряды – эти заряды не что иное, как образующие алгебры Ли${\mathfrak su}(N)$которые смешивают некоторые компоненты$SU(N)$мультиплеты с другими компонентами тех же мультиплетов. Эти заряды не коммутируют друг с другом вообще. Вместо этого их коммутаторы задаются определяющими соотношениями алгебры Ли,

$$[\tau_i,\tau_j] = f_{ij}{}^k \tau_k$$ Но эти генераторы $\tau_i$являются симметриями, потому что они коммутируют с гамильтонианом, $$[\tau_i,H]=0.$$ Ни один из этих зарядов нельзя интерпретировать как «число глюона». Это отождествление совершенно необоснованно не только в КХД, но даже в более простом случае КЭД. Что сохраняется в электродинамике из-за $U(1)$симметрия — это, конечно же, не количество фотонов! Это электрический заряд $Q$что это совсем другое. В частности, фотоны не несут электрического заряда.

Точно так же этот одиночный заряд$Q$– генератор$U(1)$- заменяется на$N^2-1$обвинения$\tau_i$, образующие алгебры${\mathfrak su}(N)$, в случае$SU(N)$группа.

Кроме того, вводит в заблуждение — но в меньшей степени — предполагать, что сохраняющиеся заряды в глобальном масштабе$SU(N)$инвариантные теории — это всего лишь$N$цветовые заряды. Что сохраняется — что коммутирует с гамильтонианом — так это весь мультиплет$N^2-1$заряды, генераторы${\mathfrak su}(N)$.

Неабелевы алгебры могут быть немного нелогичными, и скрытая мотивация вводящего в заблуждение утверждения ОП может быть попыткой представить$SU(N)$как$U(1)^k$потому что вы можете захотеть, чтобы заряды коммутировали - и, следовательно, допускали одновременные собственные состояния (значения зарядов четко определены в один и тот же момент). Но$SU(N)$не изоморфен никакому$U(1)^k$; первая — неабелева группа, вторая — абелева группа.

В лучшем случае вы можете встроить$U(1)^k$группировать в$SU(N)$. Не существует канонически предпочтительного способа сделать это, но все варианты эквивалентны с точностью до сопряжения. Но самая большая коммутирующая группа, в которую можно встроить$SU(N)$не$U(1)^N$. Вместо этого это$U(1)^{N-1}$. Вычитание единицы возникает из-за$S$(специальный, определитель равен единице), условие, ограничивающее большую группу$U(N)$чья подалгебра Картана действительно была бы$U(1)^N$.

Например, в случае$SU(3)$реальной КХД максимальная коммутирующая (Картановская) подалгебра группы есть$U(1)^2$. Он описывает двухмерное пространство «цветов», которое невозможно визуализировать на черно-белом телевизоре, если использовать аналогию с красно-зелено-синими цветами человеческого зрения. Представьте себе плоскость с шестиугольниками и треугольниками с красно-зелено-синими и циано-фиолетово-желтыми на вершинах.

Но серые, т.е. нейтральные по цвету, объекты не несут никаких зарядов под алгеброй Картана$SU(N)$. Например, нейтрон состоит из одного красного, одного зеленого и одного синего валентных кварка. Таким образом, вы могли бы сказать, что у него есть заряды$(+1,+1,+1)$под «три цвета». Но это было бы совершенно недействительно. Нейтрон (как и протон) на самом деле не несет сохраняющихся «цветовых» зарядов КХД. Он нейтрален относительно подалгебры Картана$U(1)^2$из$SU(3)$потому что цвета трех кварков сжимаются с антисимметричным тензором$\epsilon_{abc}$произвести синглет. На самом деле он инвариантен относительно всех восьми образующих$SU(3)$. Так должно быть. Все частицы, которым разрешено появляться изолированно, должны быть цветными синглетами, т. е. нести нулевые значения всех сохраняющихся зарядов в$SU(3)$- из-за заточения!

Так что насколько$SU(3)$заряды уходят, ничто не мешает нейтрону распасться до полностью нейтральных конечных продуктов, таких как фотоны. Это только (полуинтегральный) спин$J$и (очень приблизительно) сохраняющееся барионное число$B$которые позволяют нейтрону распадаться только на протон, электрон и антинейтрино и которые делают протон стабильным (пока что), хотя распад протона на полностью бескварковые конечные продукты, такие как$e^+\gamma$почти наверняка возможно, хотя и очень редко.

То, что написал Любош, совершенно правильно, но я также понимаю, что это не полностью отвечает на ваш вопрос. Под утверждением «в КХД цвет сохраняется» вы, вероятно, имеете в виду, что существуют три симметрии U(1), соответствующие красному, зеленому и синему цветам. Вы знаете это, потому что видели много изображений КХД, таких как это, где цветные линии никогда не заканчиваются. Мне кажется интересным, что это почти нигде не объяснено явно. Рассматривайте мой ответ как продолжение ответа Любоша, а не альтернативное объяснение.

Как писал Любош,$SU(3)$Калибровочная симметрия подразумевает наличие двух коммутирующих операторов, поскольку Rank[$SU(3)$]=2. Мы можем условно выбрать эти операторы как

$$\lambda_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad \lambda_8 = \frac{1}{\sqrt{3}} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-2\end{pmatrix}.$$ Эти операторы действуют на кварки $q=(q_r, q_g, q_b)^T$через левое умножение и на глюоны $G_\mu = \sum_{i=1}^8\lambda_i G^{i}_\mu$через коммутацию. Судя по всему, это не операторы красного, зеленого или синего цвета.

Однако, как писал Любош, существует дополнительный глобальный$U(1)$симметрия, соответствующая сохранению барионного числа. Представление его генератора, т. е. оператора барионного числа, в тех же обозначениях принимает вид

$$B = \frac{1}{3} \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1 \end{pmatrix}.$$

Следовательно$\{\lambda_3, \lambda_8, B\}$охватывает тривиальную алгебру Ли, соответствующую$U(1)^3$группа симметрии. Поскольку любой базис ничуть не хуже любого другого, мы можем изменить базис, превратив линейные комбинации 3 образующих в следующую:

$$r= \begin{pmatrix} 1&0&0&\\0&0&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad g= \begin{pmatrix} 0&0&0&\\0&1&0\\0&0&0\end{pmatrix}, \quad b= \begin{pmatrix} 0&0&0&\\0&0&0\\0&0&1\end{pmatrix}$$ Очевидно, что эти операторы заслуживают называться операторами красного, зеленого и синего цвета, потому что $$\psi_r = \begin{pmatrix} 1\\0\\0\end{pmatrix}, \quad \psi_g = \begin{pmatrix} 0\\1\\0\end{pmatrix}, \quad \psi_b = \begin{pmatrix} 0\\0\\1\end{pmatrix}$$ являются их одновременными собственными состояниями с ожидаемыми собственными значениями.

Вот почему цвета преобразуются. Следовательно, имеет смысл утверждать, что нейтрон имеет цвета (+1,+1,+1), но это эквивалентно (более элегантному) утверждению, что нейтрон — это бесцветный барион.

Я думаю, что цветовой заряд НЕ может быть зарядом Нётер. В контексте теории Янга-Миллса цвет — это просто индекс образующих матричного представления калибровочной группы.

Утверждение «цвета сохраняются» может исходить из идентичности Фирца:

$\sum_a T^a_{ij}T^a_{kl} = \frac{1}{2} \left( \delta_{il}\delta_{jk} - \frac{1}{N} \delta_{ij}\delta_{kl}\right)$

Эта структура может появиться на диаграммах Фейнмана. Например, для$u\bar{d} \to u \bar{d}$рассеяние, мы имеем на уровне дерева:

$$\begin{equation} T_{j i}^{a} T_{k l}^{a}\left(i g_{s}\right)^{2} \bar{u}_{j}\left(p_{2}\right) \gamma^{\mu} u_{i}\left(p_{1}\right) \frac{-i\left[g_{\mu \nu}-(1-\xi) \frac{k_{\mu} k_{\nu}}{k^{2}}\right]}{k^{2}} \bar{v}_{k}\left(p_{3}\right) \gamma^{\nu} v_{l}\left(p_{4}\right) \end{equation}$$ Таким образом, если входящий "цвет"$i \neq j$, то у нас есть исходящий цвет$l=i,~ k = j$, что можно интерпретировать как «сохранение цвета». Если$i =j$, тогда мы называем это «цветовой синглет», а конечное состояние может быть красным/анти-красным, синим/анти-синим или зеленым/анти-зеленым.