(Анти)коммутация призраков и фермионов

Я хотел бы спросить, следует ли выбирать фермионные поля Грассмана в интеграле по путям калибровочной теории (скажем, в КХД) для коммутации или антикоммутации с фантомными и антифантомными полями. То, как это представлено в большинстве учебников, предполагает, что следует выбрать антикоммутацию, но я не знаю никаких аргументов в пользу этого. Существует также вопрос об (анти)коммутационных соотношениях для соответствующих операторов в пространстве Крейна .

Меня спросили в комментариях, где эта проблема когда-либо поднималась. Это было связано с выводом сохраняющегося тока БКР в КХД. Позвольте мне сначала объяснить, что во многих книгах утверждается, что оператор BRS с удовлетворяет градуированному правилу Лейбница по фермионному числу, например с ( ψ ¯ ψ ) "=" ( с ψ ¯ ) ψ − ψ ¯ с ψ . На лекции об аномалиях, которую я недавно посетил, было заявлено, что вместо этого следует использовать правило Лейбница, градуированное по числу призраков (или, по крайней мере, можно использовать), поэтому с ( ψ ¯ ψ ) "=" ( с ψ ¯ ) ψ + ψ ¯ с ψ но с ( с а с б ) "=" ( с с а ) с б − с а ( с с б ) . Поэтому я естественно прихожу к рассмотрению вариаций полей вида ф → ф + ϵ с ф , где ϵ является параметром Грассмана, коммутирующим с А , ψ , ψ ¯ но антикоммутирующий с с а и с ¯ а . Я обнаружил, что при этих преобразованиях вариация действия принимает вид

дельта С "=" ∫ г 4 Икс ( ∂ мю ϵ ) [ − Ф а мю ν Д ν с а + г ψ ¯ γ мю с а т а ψ + б а Д мю с а − 1 2 г ф а б с ( ∂ мю с ¯ а ) с б с с ] .
Мы видим, что в скобках [ ] у нас есть сохраняющийся ток, с этого момента обозначаемый Дж Б р С мю . После манипулирования этим током с помощью уравнений движения я нашел термин г [ ψ ¯ , с а ] γ мю т а ψ . Оказывается, явное вычисление дивергенции Дж Б р С мю использование уравнений движения дает нуль, только если этот коммутатор считается равным нулю. Таким образом, мне кажется, что это единственный выбор, соответствующий моему выбору определения оператора BRS.

Замечание . Я использовал лагранжиан

л "=" − 1 4 Ф 2 + ψ ¯ ( я γ ⋅ Д − М ) ψ + ∂ мю с ¯ а Д мю с а − А мю а ∂ мю б а + 1 2 ξ б 2 ,
с ковариантной производной Д "=" ∂ + я г А .

Можете ли вы написать термин, в котором это имеет значение?
Уважаемый @marmot в некоторых расчетах (относящихся к оператору БРСТ) я делал в КХД нашел терм ψ ¯ с а т а ψ − с а ψ ¯ т а ψ . Оно исчезает, если призрачное поле коммутирует со спинорными полями, но не иначе.
Спасибо! Интересно, не хотите ли вы добавить происхождение термина к вопросу.
@Blazej, не могли бы вы уточнить, как этот термин входит в ваши расчеты и почему это необходимо? Физически призраки и фермионы не связаны друг с другом. На самом деле призраки - это просто возмущающий способ приспособиться к поправке к интегральной мере Янга-Миллса по путям, возникающей из-за фиксации калибровки. Используете ли вы условие фиксации калибровки с участием фермионов?
Уважаемые @marmot и Solenodon Paradoxus, я отредактировал свой вопрос, чтобы указать, где возникает моя проблема.
Простое упоминание пространств Керина меня заинтересовало, однако я вижу, что этим не занимаются, поэтому я разочарован.
Какая страница в «Аномалиях в QFT » Бертлмана?
@DanielC, пространства Керина упоминаются, потому что в конечном итоге также хотелось бы превратить все поля в операторы, которые действуют в пространстве с неопределенной подписью. Насколько я понимаю, подходящей математической структурой для этих пространств является пространство Крейна, но, пожалуйста, поправьте меня, если я ошибаюсь.
Уважаемый @Qmechanic, извините, я сейчас проверил и кажется, что меня смутило какое-то предложение в Бертлманне. Это означает, что у меня нет надежной письменной ссылки на подход, который я пытаюсь применить. Я узнал об этом на лекции, и я попрошу у нашего лектора некоторые ссылки.
Для всех, кто потенциально заинтересован в этом в будущем, отмечу, что если предположить, что оператор БКР удовлетворяет градуированному по фермионному числу правилу Лейбница, то получается тот же ток БКР вплоть до изменения знака в фермионном члене. Таким образом, после применения ЭОМ мы видим, что для сохранения требуется, чтобы ψ ¯ и с а антикоммутативный.

Ответы (1)

Не совсем понятно, что ищет OP, но вот несколько, надеюсь, полезных комментариев:

  1. Классически (имеется в виду, когда постоянная Планка ℏ → 0 ), два поля А и Б суперкоммутативны

    А Б   "="   ( − 1 ) | А | | Б | Б А ,
    где | А | и | Б | обозначают соответствующую четность Грассмана. Другими словами, классический суперкоммутатор
    [ А , Б ]   ≡   А Б − ( − 1 ) | А | | Б | Б А   "="   0
    исчезает.

  2. Суперкоммутатор в квантовой теории обычно представляет собой квантовую деформацию классического суперкоммутатора.

  3. Обратите внимание, что призрачные поля могут быть как Грассман-четными, так и Грассман-нечетными, в зависимости от теории.

  4. В принципе, можно рассматривать супералгебры с несколькими независимыми Z 2 - или Z -оценки

    | ⋅ | 1 , … , | ⋅ | н .
    Тогда суперкоммутатор в такой супералгебре определяется как
    [ А , Б ]   ≡   А Б − ( − 1 ) ∑ я "=" 1 н | А | я | Б | я Б А .
    (Например, можно рассматривать степень внешней формы и обычную Грассмановскую градуировку как две независимые градации.)

  5. Теория может допускать различные соглашения. Главное, чтобы человек был последовательным.

  6. В частности, о полях фермионной материи ψ , призрачное поле Фаддеева-Попова с и антифантомные поля с ¯ в теории Янга-Миллса можно последовательно составить формулировку БРСТ, используя только один тип градуировки Грассмана, в котором ψ , с и с ¯ все нечетны по Грассману и попарно антикоммутируют.

Дорогой @Qmechanic, математически у нас может быть ситуация, когда у нас есть две независимые алгебры Грассмана, порожденные η я и ξ я , так что { ξ я , ξ Дж } "=" { η я , η Дж } "=" 0 но [ η я , ξ Дж ] "=" 0 . Вопрос в том, реализуется ли такое построение именно в квантовых теориях поля.
Уважаемый @Qmechanic, обратите внимание, что я отредактировал свой вопрос, чтобы указать, где именно возникает проблема и что привело меня к мысли, что [ с а , ψ ] "=" 0 (на уровне переменных интегрирования) является непротиворечивым определением в подходе, который я использую.
Я принимаю этот ответ, хотя вопрос о том, является ли приемлемым соглашение с оператором BRS, принятым как оцененное по отношению к числу призраков, все еще остается открытым для меня. Однако, строго говоря, это не тот вопрос, который я изначально задал, и может быть очень сложно дать определенный ответ.
(Анти)коммутация призраков и фермионов
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v