Две загадки о группе проективной симметрии (PSG)?

Недавно я изучал PSG и был очень озадачен двумя утверждениями, появившимися в статье Вена . Чтобы ясно представить вопросы, представьте, что мы используем фермион Швингера.$\mathbf{S}_i=\frac{1}{2}f_i^\dagger\mathbf{\sigma}f_i$метод среднего поля для изучения двумерной системы со спином 1/2 и получения гамильтониана среднего поля$H(\psi_i)=\sum_{ij}(\psi_i^\dagger u_{ij}\psi_j+\psi_i^T \eta_{ij}\psi_j+H.c.)+\sum_i\psi_i^\dagger h_i\psi_i$, где$\psi_i=(f_{i\uparrow},f_{i\downarrow}^\dagger)^T$,$u_{ij}$и$\eta_{ij}$являются$2\times2$комплексные матрицы и$h_i$являются$2\times2$Эрмитовы матрицы. А проекция на спиновое подпространство осуществляется проективным оператором$P=\prod _i(2\hat{n}_i-\hat{n}_i^2)$(Обратите внимание здесь$P\neq \prod _i(1-\hat{n}_{i\uparrow}\hat{n}_{i\downarrow})$). Мои вопросы:

(1) Как прийти к уравнению (15)? Уравнение (15) означает, что если$\Psi$и$\widetilde{\Psi}$являются основными состояниями среднего поля$H(\psi_i)$и$H(\widetilde{\psi_i})$, соответственно, то$P\widetilde{\Psi}\propto P\Psi$, где$\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$. Как доказать это утверждение?

(2) Утверждение трансляционной симметрии над уравнением (16), которое можно сформулировать следующим образом: Пусть$D:\psi_i\rightarrow \psi_{i+a}$— унитарный оператор перевода($a$— вектор решетки). Если существует$SU(2)$трансформация$\psi_i\rightarrow\widetilde{\psi_i}=G_i\psi_i,G_i\in SU(2)$ такой, что $DH(\psi_i)D^{-1}=H(\widetilde{\psi_i})$, то проектируемое спиновое состояние$P\Psi$имеет трансляционную симметрию$D(P\Psi)\propto P\Psi$, где$\Psi$является основным состоянием среднего поля$H(\psi_i)$. Как доказать это утверждение?

Я боролся с двумя вышеупомянутыми головоломками в течение нескольких дней и до сих пор не могу их понять. Я буду очень признателен за ваш ответ, большое спасибо.