Хрустальный угловой момент

Если кристалл имеет дискретную группу точечных симметрий , то собственные электронные функции будут соответствующим образом инвариантны относительно этой группы. Формально симметрия требует, чтобы собственные функции гамильтониана с группой симметрии$G$относятся к различным представлениям этой группы.

В аннотации представление группы$G$векторное пространство (в данном случае подпространство вырожденной энергии)$V$и «рецепт» унитарного преобразования векторов в$V$с преобразованиями из$G$, в виде группового гомоморфизма$R:G\rightarrow U(V)$. Если известна структура группы (в виде ее таблицы умножения), то можно многое сказать о ее возможных представлениях, которые обычно обозначаются некоторыми стандартными обозначениями (например,$E$,$A$,$B$, и т. д.). Затем волновые функции маркируются типом представления подпространства, которому они принадлежат.

Чтобы свести это обратно к угловому моменту, подпространства с разными$l$являются различными подпространствами представления. Рассматриваемая группа является ротационной группой$\text{SO} (3)$. Он имеет бесконечное семейство представлений возрастающей конечной размерности, а индекс$l$то, что их помечает, — это именно квантовое число углового момента этих волновых функций. Таким образом, в терминах теории групп «иметь определенный угловой момент» просто означает «принадлежность к подходящему представлению$\text{SO} (3)$".

Таким образом, кристалл с точечной симметрией будет иметь собственные электронные функции, которые действительно имеют «определенный угловой момент кристалла» в том смысле, что они принадлежат определенному представлению точечной группы.

Добавлено в ответ на комментарий:

К сожалению, не существует физической величины, соответствующей этой симметрии. Это связано с тем общим фактом, что дискретные симметрии не имеют образующих. В то время как вы можете записать повороты, например, в виде$e^{i\mathbf{J}\cdot\hat{\mathbf{n}}\theta}$, где$\mathbf{J}$является генератором, это не имеет особого смысла для дискретных симметрий.

Хорошим сравнением для этого является паритет: если$\Pi$коммутирует с$H$тогда мы говорим, что четность сохраняется в том смысле, что само преобразование является константой движения. Для более общей дискретной группы$G$(вместо$G=\{-1,1\}$для четности), то метки$+$и$-$заменяются групповым представлением. Так же и этикетки$l$и$m$соответствуют групповому представлению и собственным значениям некоторого конкретного группового преобразования. Оба сохраняются под$H$, но нет генератора.

Я не уверен, что понимаю, что вы имеете в виду под Crystal Angular Momentum , но вот некоторые идеи.

Следует различать угловой момент из-за вращения объекта как твердой системы и системы, состоящей из подсистем, каждая из которых имеет угловой момент - атомов в кристалле в этом случае.

У отдельных атомов в кристалле есть угловой момент, и именно так они получают свой магнитный дипольный момент. В кристаллах, обладающих намагниченностью, большая часть углового момента атомов направлена ​​в одном направлении, поэтому такие кристаллы проявляют магнитные свойства. Но это относится к полному угловому моменту отдельных, так сказать, «свободных» атомов кристалла, а не к тому, что сам кристалл вращается как твердый объект. Я надеюсь в этом есть смысл(?)