Симметрия двумерной анизотропной модели Гейзенберга?

Короткий ответ

Да, группа симметрии больше, чем$\Bbb{Z}_2$и является$\mathbf{k_4\cong \Bbb{Z}_2 \times \Bbb{Z}_2}$. Но основные состояния связаны только$\Bbb{Z}_2$и именно эта симметрия нарушается при спонтанном нарушении симметрии.

Длинный ответ

Давайте посмотрим на отдельные группы симметрии, упомянутые в вопросе, и на их генераторы:

• Вращение о$z$ось по$\pi$: у этого есть один генератор, заданный: $$\pi_z=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &-1\end{pmatrix}$$
• Размышления о$xz$плоскость: у этого есть один генератор, заданный: $$R_y=\begin{pmatrix} 1 &0 \\ 0 &-1\end{pmatrix}$$
• Размышления о$yz$плоскость: у этого есть один генератор, заданный: $$R_x=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0 &1\end{pmatrix}$$

Обратите внимание, что поскольку$R_x=\pi_z R_y=R_y \pi_z$полная группа симметрии определяется выражением:

Теперь заметим, что основные состояния (скажем, все спины в$+x$или$-x$направление) связаны образующей$\pi_z$и, таким образом, группа$\langle \pi_z\rangle \cong \Bbb{Z}_2$. В то время как генератор$R_2$оставляет основные состояния неизменными. Таким образом, это$\langle \pi_z\rangle \cong\Bbb{Z}_2$о чем, скорее всего, идет речь выше. Мы могли бы также рассматривать эту группу как порожденную вращениями$R_x$поскольку они связаны преобразованием, которое оставляет неизменными основные состояния, а именно$R_y$.

В качестве примечания спонтанной симметрии генератор$\pi_z$(или$R_x$) нарушается, оставляя систему с симметрией$\langle R_y \rangle \cong \Bbb{Z}_2$.