Спонтанное нарушение симметрии в модели Гейзенберга для d=2d=2d=2?

Отличный вопрос. Я предполагаю, что вы имеете в виду классическую модель Гейзенберга (спинами которой являются просто стрелки). Перепрыгните последнее предложение, если вам нужен только фактический ответ.

Модель Гейзенберга не имеет группы симметрии$\mathrm{O}(3)$- это просто спиновая часть группы симметрии. Полная группа симметрии$\mathrm{O}(3) \times S$, где$S$— пространственная группа решетки, на которой определена модель. (Самый распространенный выбор$d$-мерная гиперкубическая решетка, для которой$S$является гипероктаэдрической группой.) Это важно, потому что, хотя спиновая и пространственная симметрии действуют независимо на гамильтониан, симметрия системы может спонтанно нарушиться до меньшей группы симметрии, которая их объединяет. Иногда это называют «спонтанно индуцированной спин-орбитальной связью». Я приведу пример ниже.

В разложении$\mathrm{O}(3) \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathrm{SO}(3)$спин-пространственной симметрии,$\mathrm{SO}(3)$соответствует жесткому вращению всех спинов в спиновом пространстве, а$\mathbb{Z}_2$соответствует обращению времени (TR) - т.е. одновременному переворачиванию всех спинов. Невозможно самопроизвольно сломать$\mathbb{Z}_2$Симметрия TR при выходе из$\mathrm{SO}(3)$(и, неявно, пространственная группа$S$) неразрывный. Это потому, что отдельный спин (который является фундаментальной атомной единицей, пока пространственная симметрия остается ненарушенной) является просто стрелой и трансформируется в диполярное представление$\mathrm{SO}(3)$: вращение спина вокруг своей оси ничего не делает. Поэтому на уровне одного спина$\mathrm{Z}_2$преобразование с обращением во времени, которое меняет направление вращения, на самом деле ничего не добавляет, потому что вы можете сделать то же самое, просто используя$\mathrm{SO}(3)$. (Например, если вращение начинается, указывая на$+\hat{z}$направление, вы можете изменить его на$-\hat{z}$с помощью оператора обращения времени, но и путем поворота на$180^\circ$о$x$- или$y$-оси. Математически мы говорим, что диполярные представления$\mathrm{O}(3)$и$\mathrm{SO}(3)$изоморфны.) Поскольку$\mathbb{Z}_2$симметрия обращения времени ничего не делает независимо от$\mathrm{SO}(3)$в этом случае нет смысла разбивать его по отдельности.

Но если учесть группу пространственной симметрии, все становится намного интереснее. Он может спонтанно нарушаться вместе с магнитной симметрией таким образом, что, грубо говоря, спонтанно увеличивается элементарная магнитная ячейка. И если увеличенная элементарная магнитная ячейка содержит несколько спинов, то она трансформируется при вращениях спинового пространства как мультиполярное (а не дипольное) представление$\mathrm{SO}(3)$. В этих высших представлениях$\mathbb{Z}_2$и$\mathrm{SO}(3)$операторы не эквивалентны, потому что увеличенная элементарная магнитная ячейка может быть хиральной . Например, если у вас есть три помеченных спина, то любой$\mathrm{O}(3)$преобразование всех трех спинов вместе будет либо киральным и потребует обращенной во времени спин-пространственной инверсии, либо нет, и эти два случая не могут быть связаны простым$\mathrm{SO}(3)$вращение.

В этом случае вы действительно можете просто сломать$\mathbb{Z}_2$сохраняя при этом$\mathrm{SO}(3)$. Но вы не сможете увидеть эффект, просто рассмотрев одно вращение, которое останется$\mathrm{SO}(3)$симметричный и, следовательно, «не указывает ни на что конкретное». Вам нужно смотреть на коррелированное поведение нескольких спинов одновременно, чтобы наблюдать нарушение TR-симметрии. В наиболее естественном контексте это возникает, когда решетка спинов содержит треугольники (т.е. либо треугольная решетка, либо решетка кагомэ). В этом случае мы можем рассмотреть «скалярную хиральность» каждого треугольника.$\langle S_A \cdot (S_B \times S_C) \rangle$, где$S_i$спины в трех углах треугольника. Этот параметр коллективного порядка представляет собой псевдоскалярное произведение, инвариантное относительно$\mathrm{SO}(3)$но меняет знак при TR, поэтому становится ненулевым, если TR спонтанно нарушается, даже если$\mathrm{SO}(3)$симметрия сохраняется. (Если гамильтониан имеет только$\mathrm{O}(2) \cong \mathbb{Z}_2 \times \mathrm{U}(1)$симметрия, как$XY$модели, то более простым параметром порядка является угол со знаком$\theta_i - \theta_j$между двумя соседними вращениями.)

Такие фазы действительно возникают в модели Гейзенберга на решетке Кагоме как с первым, так и со вторым ближайшим соседом, как описано в https://journals.aps.org/prb/abstract/10.1103/PhysRevB.72.024433 .