Классический предел квантового гармонического осциллятора

Question

Классический предел квантового гармонического осциллятора

диджей

Классический гармонический осциллятор подчиняется закону арксинуса в том смысле, что распределение положений частицы в течение одного временного цикла пропорционально $\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , $A$ являющийся амплитудой.

Существует иллюстрация, которая кажется довольно распространенной (я смотрю на рисунок 2.7b в книге Гриффитса по КМ), на которой $n$ Энергетическое собственное состояние квантового гармонического осциллятора накладывается на вышеупомянутое распределение. Графики двух функций кажутся похожими.

Есть ли доказательство того, что они в каком-то смысле совпадают в каком-то пределе?

Qмеханик

Верно, классически закон сохранения энергии приводит к

ω d t = \frac{d x}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}}

$\omega dt =\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , что можно интерпретировать как распределение вероятностей

P (x) = \frac{1}{π} \frac{1}{\sqrt{A^{2} - x^{2}}}

$P(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ . Это цифра 2.5б р. 42 в 1-м издании (1995 г.).

Ответы (3)

Классический предел квантового гармонического осциллятора

Верно, классически закон сохранения энергии приводит к $\omega dt =\frac{dx}{\sqrt{A^2-x^2}}$ , что можно интерпретировать как распределение вероятностей $P(x)=\frac{1}{\pi}\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ . Это цифра 2.5б р. 42 в 1-м издании (1995 г.).

Сандеш Калантре · Answer 1

я не уверен в $\frac{1}{\sqrt{A^2-x^2}}$ часть в вашем приближении. В асимптотическом пределе $n \rightarrow \infty$ , полиномы Эрмита ведут себя следующим образом:

введите описание изображения здесь

Часть косинуса относится к колебаниям, присутствующим в волновой функции, которые видны даже на рис. 2.7b в Гриффитсе. $(1-\frac{x^2}{2n})^{\frac{-1}{4}}$ часть является классическим поведением, и в этом случае графики, похоже, совпадают.

Использованная литература:

Полиномы Эрмита в Википедии

См. часть асимптотического поведения для приведенного выше выражения.

Спасибо! Несоответствие показателей степени похоже на то, что оно происходит от возведения в квадрат волновой функции.
@djk Ты совершенно прав. Амплитуда вероятности, а не плотность вероятности, пропорциональна функции Эрмита для QHO.

мхо · Answer 2

Я бы предпочел приблизиться к классическому пределу гармонического осциллятора, используя «когерентные состояния». Подробности можно найти в соответствующей статье Википедии .

Лайонелбритс · Answer 3

Доказательство лежит в теореме Эренфеста, которая утверждает, что значения квантовых ожиданий подчиняются классическим уравнениям движения (строго, если потенциал изменяется медленно на расстоянии, на котором локализована волновая функция). Но такие состояния вовсе не обязательно должны выглядеть классическими (как высшие функции Эрмита), так что это немного вводит в заблуждение. Как указывает mho, когерентные состояния ближе по духу к классическому поведению, и для частного случая гармонического осциллятора обладают некоторыми хорошими свойствами.

Классический предел квантового гармонического осциллятора

диджей

Qмеханик

Ответы (3)

Сандеш Калантре

диджей

Селена Рутли

мхо

Лайонелбритс

Нахождение полной волновой функции при всех ttt с заданной начальной волновой функцией при t=0t=0t=0 [закрыто]

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор: полярные координаты

Квантовый гармонический осциллятор, решенный аналитическим методом с использованием уравнения Шредингера и волновой функции

Гармонический осциллятор - волновые функции

Квантовый гармонический осциллятор Теорема Вириала не выполняется

3D Квантовый гармонический осциллятор

Потенциал гармонического осциллятора, доказательство того, что гауссовцы остаются гауссовыми?

Энергия в гармоническом осцилляторе [закрыто]

Связанный квантовый гармонический осциллятор

Волновая функция основного состояния двух частиц в потенциале гармонического осциллятора