Квантовый гармонический осциллятор Теорема Вириала не выполняется

Меня попросили рассчитать среднюю кинетическую и потенциальную энергии для заданного состояния квантового гармонического осциллятора. Состояние:

ψ ( Икс , 0 ) "=" ( 4 м ю π ℏ ) 1 4 е − 2 м ю ℏ Икс 2
Дело в том, что расчет ⟨ Т ⟩ "=" ∫ − ∞ ∞ ψ ( Икс ) ( − я ℏ ) 2 г 2 г Икс ψ г Икс "=" ( 4 м ю π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ е − 4 м ю час Икс 2 г Икс − ( 4 м ю π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ Икс 2 е − 4 м ю час Икс 2 г Икс "=" ℏ ю

Где я использовал, что оператор импульса п "=" − я ℏ г г Икс

⟨ В ⟩ "=" м ю 2 2 ( 4 м ю π ℏ ) 1 2 ∫ − ∞ ∞ Икс 2 е − 4 м ю час Икс 2 г Икс "=" ℏ ю 16

Но тогда теорема Вириала не выполняется. Я читал, что теорема вириала верна для любого связанного состояния, и все состояния в квантовом гармоническом осцилляторе связаны. Может ли кто-нибудь указать, где я ошибаюсь? Спасибо

Это основное состояние гамильтониана 1 2 м ∇ 2 + 8 м ю 2 Икс 2 - Вы уверены, что это именно то состояние, которое они имели в виду?
Да @ jacob1729 это состояние, которое мне дано. Это не основное состояние, а бесконечная сумма собственных состояний QHO.
Может быть, вы могли бы дать нам больше контекста; что описывает это состояние и т.д.
Это предыдущий экзаменационный вопрос, в нем просто говорится, что QHO массы m и частоты ю находится в указанном состоянии при t=0 и запрашивает вычисление <V> и <T>

Ответы (2)

Основное состояние гармонического осциллятора (см., например, Википедию ):

ψ 0 ( Икс ) "=" ( α π ) 1 / 4 е − α Икс 2 / 2 , где  α "=" м ю ℏ

Ваша математика верна, просто состояние, которое у вас есть, не является связанным состоянием гармонического осциллятора, параметры немного отклоняются. Если вы используете состояние, указанное выше, вы действительно можете показать, что:

⟨ Т ⟩ "=" ℏ ю 4 "=" ⟨ В ⟩ .

Состояние, которое они мне дают, действительно не является основным состоянием, мне нужно рассчитать его для данного состояния с коэффициентом 4.
Конечно, за исключением того, что теорема Вириала в квантовой механике верна только для связанных состояний, а указанное вами состояние не является связанным состоянием гармонического осциллятора. Так что это нормально, что это не удовлетворяет теореме. Возможно, существует неправильное понимание того, что такое связанное состояние?
Я читал, что все состояния в квантовом гармоническом осцилляторе связаны: physics.stackexchange.com/questions/135456/… Но, может быть, я ошибаюсь и для классических энергий существуют несвязанные состояния?
Это также правильно. Однако не все функции являются связанными состояниями! Связанное состояние для конкретного гамильтониана ЧАС это состояние, которое удовлетворяет
ЧАС ψ "=" Е ψ ,
где Е постоянное число, которое мы понимаем как энергию. Я призываю вас включить состояние, которое у вас есть, в это дифференциальное уравнение, чтобы посмотреть, удовлетворяет ли оно ему.
Это соотношение удовлетворяется собственными функциями, верно? Поэтому у них определенная энергия E, а мое состояние есть бесконечная сумма собственных функций QHO с разными весовыми коэффициентами. Так что не устраивает ЧАС ψ "=" Е ψ . Таким образом, это не связанное состояние, поэтому Вириал не выполняется. Следовательно, Вириал верен только для собственных состояний? А связанные состояния - это состояния собственных функций?
Верно, я не уверен, что понял последнюю часть вашего комментария, но в целом да. «Связанный» и «рассеивающий» — прилагательные, используемые для описания состояний с определенной энергией (т. е. собственных функций гамильтониана). Собственные функции, имеющие дискретный спектр, называются «связанными», а те, которые имеют непрерывный спектр, называются «рассеивающими». Гармонический осциллятор имеет только собственные функции с дискретным энергетическим спектром, поэтому все состояния с определенной энергией являются «связанными». Теорема Вириала справедлива только для таких связанных состояний.
Большое спасибо! Затем в качестве резюме, чтобы убедиться, что я понял: теорема Вириала верна для связанных состояний, что означает собственные функции с дискретной энергией. Отдельные собственные функции QHO имеют дискретную энергию, все собственные состояния связаны. Таким образом, Вириал выполняется для любого собственного состояния QHO. Однако у моего состояния нет определенной энергии, поскольку оно не является собственным состоянием, поэтому оно не связано, поэтому нет вириала.
Это звучит правильно, да!

У вас могут быть гауссовы поля, которые не являются собственными состояниями, но тогда они не независимы от времени, а независимость от времени является существенным элементом теоремы вириала. Например, зависящее от времени уравнение Шредингера для гармонического осциллятора

я ∂ ψ ∂ т "=" − 1 2 ∂ 2 ψ ∂ Икс 2 + 1 2 ю 2 Икс 2 ψ
имеет зависящее от времени решение
ψ ( Икс , т ) "=" ( ю π ) 1 / 4 1 е я ю т + р е − я ю т опыт ⁡ { − ю 2 ( 1 − р е − 2 я ю т 1 + р е − 2 я ю т ) Икс 2 } ,
где параметр | р | < 1 . Только если р "=" 0 его Икс и п распределения не зависят от времени. Если р ≠ 0 гауссов «вдыхает» и выдыхает. Ваша волновая функция — это моментальный снимок этой в какой-то конкретный момент времени.

Ниже представлена ​​визуализация | ψ ( Икс , т ) | 2 (принимая ю "=" 1 ) для разных значений р , показывающий, как «дышит» гауссиана. Как видите, как р → 0 , распределение вероятностей имеет тенденцию меняться не так сильно.

                          введите описание изображения здесь

Гаусс «вдыхает» и выдыхает . Это чертовски образ, я буду использовать эту фразу с этого момента. :П
Я не думаю, что понимаю метафору «вдохи и выдохи». Можете ли вы расширить это?
Я имею в виду, что если вы планируете | ψ ( Икс , т ) | 2 для моего решения как функции времени вы увидите, что гауссиана расширяется и сжимается с частотой 2 ю . Таким образом < Икс 2 > . и < п 2 > периодически уменьшаются и увеличиваются. Конечно < п 2 > растет как < Икс 2 > сжимается..
О, я вижу, спасибо
@mikestone Привет! Я добавил небольшой GIF и небольшое описание, иллюстрирующее, что, как я думаю, вы имели в виду, пожалуйста, не стесняйтесь удалять его/редактировать/откатывать редактирование и т. д. по своему усмотрению!
@Филипп Это здорово!
Квантовый гармонический осциллятор Теорема Вириала не выполняется
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v