Коэффициенты разложения в решении уравнения Дирака для свободной частицы

Это просто обозначения. Если схематично написать

$$\psi\sim A\mathrm e^{-ipx}+B\mathrm e^{+ipx}$$ тогда вы можете проверить это $$\begin{aligned} {}[H,A]=-\omega A\\ [H,B]=+\omega B \end{aligned}$$ так что $A$ведет себя как оператор уничтожения (понижает энергию) и $B$ведет себя как оператор создания (увеличивает энергию). Поэтому имеет смысл написать $B\equiv b^\dagger$- это просто удобная запись. Вы можете опустить эту перемаркировку, если хотите, но зачем.