Явные выражения для операторов создания и уничтожения

Каковы явные выражения для операторов рождения и уничтожения? а п → ^ и а ^ п → † для бозонов? Я не могу найти их нигде, так как каждый источник, кажется, вводит их при квантовании полей.

ф ( Икс → ) "=" ∫ г ³ п ( 2 π ) ³ 1 2 ю п → ( а п → ^ е я п → ⋅ Икс → + а ^ п → † е − я п → ⋅ Икс → )
π ( Икс → ) "=" ∫ г ³ п ( 2 π ) ³ ( − я ) ю п → 2 ( а п → ^ е я п → ⋅ Икс → − а ^ п → † е − я п → ⋅ Икс → )

Не давая им явного выражения. Я хотел бы знать, потому что, например, вычисление гамильтониана для поля Клейна-Гордона требует от меня знать, какое влияние оказывает смена знака импульса, т.е. а ^ − п → и а ^ − п → † являются.

Являются ли эти уравнения сами по себе не определением а п ? Вы можете инвертировать преобразование Фурье, если хотите, чтобы оно было еще более явным.
Интерпретация а к † для любого к заключается в том, что он создает частицу импульса к . Таким образом, вы автоматически знаете, что а − п † делает, он создает частицу импульса − п .
Вы, наверное, видели это: en.wikipedia.org/wiki/… но это стоит прочитать, особенно. что касается отношений коммутации по сравнению с фермионами (антикоммутация), которые, я думаю, можно рассматривать как часть их определения.

Ответы (1)

Обратите внимание, что вы также можете написать ф и π как

ф ( Икс → ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 1 2 ю п → ( а п → + а − п → † ) е я п → ⋅ Икс →
π ( Икс → ) "=" ∫ г 3 п ( 2 π ) 3 ( − я ) ю п → 2 ( а п → − а − п → † ) е я п → ⋅ Икс →
(уравнения (2.27) и (2.28) Пескина и Шредера). Отсюда вы можете воспользоваться преобразованием Фурье, чтобы получить
а п → + а − п → † "=" 2 ю п → ∫ г 3 Икс ф ( Икс → ) е − я п → ⋅ Икс →
а п → − а − п → † "=" я 2 ю п → ∫ г 3 Икс π ( Икс → ) е − я п → ⋅ Икс →
и сложение их вместе дает
а п → "=" ∫ г 3 Икс ( ю п → 2 ф ( Икс → ) + я 2 ю п → π ( Икс → ) ) е − я п → ⋅ Икс →
а затем, с помощью эрмитова сопряжения,
а п → † "=" ∫ г 3 Икс ( ю п → 2 ф ( Икс → ) − я 2 ю п → π ( Икс → ) ) е я п → ⋅ Икс → .

Используя эти уравнения, вы можете явно проверить коммутационное соотношение [ а п → , а д → † ] "=" ( 2 π ) 3 дельта ( 3 ) ( п → − д → ) . На практике кажется, что вам редко нужны явные выражения для лестничных операторов; обычно достаточно вспомнить коммутационное соотношение.

Явные выражения для операторов создания и уничтожения
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v