Классический предел квантовой механики

Question

Классический предел квантовой механики

мазок

Я слышал, что можно восстановить классическую механику из квантовой механики в пределе $\hbar$ уходит в ноль. Как это может быть сделано? (В идеале мне бы хотелось увидеть что-то вроде: as $\hbar$ стремится к нулю, волновая функция положения сводится к дельта-функции, а уравнение Шредингера/интеграл по траекториям Фейнмана сводится к ньютоновским/лагранжевым/гамильтоновым уравнениям движения.)

Qмеханик

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/17651/2451 и ссылки там.

DJBunk

Дельта-функция — это не какой-то классический предел квантовой механики, это просто собственное состояние оператора положения.

Арнольд Ноймайер

Каковы ваши базовые знания, к которым следует адаптировать ответ?

Эмилио Писанти

Возможный дубликат , но все же достаточно интересный альтернативный ракурс.

Qмеханик

Опубликовано на mathoverflow.net/questions/102313

Дэвид Спектор

Интересно, можем ли мы считать, что классический предел для сверхтекучего гелия получен экспериментально путем его нагревания? Если это разумно, то, по крайней мере, некоторые теоретические системы квантовой механики могут иметь параметр (количество частиц? количество наложенных состояний? что-то еще, что может моделировать случайное движение атомов?), который создает температуру по мере ее увеличения, а это означает, что мы наблюдаем естественное возникновение классическое распределение Больцмана, закон Бойля и т. д. Или это просто сумасшествие? Или это возможно, но за пределами современной математики?

Ответы (6)

Классический предел квантовой механики

Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/17651/2451 и ссылки там.
Дельта-функция — это не какой-то классический предел квантовой механики, это просто собственное состояние оператора положения.
Каковы ваши базовые знания, к которым следует адаптировать ответ?
Возможный дубликат , но все же достаточно интересный альтернативный ракурс.
Опубликовано на mathoverflow.net/questions/102313
Интересно, можем ли мы считать, что классический предел для сверхтекучего гелия получен экспериментально путем его нагревания? Если это разумно, то, по крайней мере, некоторые теоретические системы квантовой механики могут иметь параметр (количество частиц? количество наложенных состояний? что-то еще, что может моделировать случайное движение атомов?), который создает температуру по мере ее увеличения, а это означает, что мы наблюдаем естественное возникновение классическое распределение Больцмана, закон Бойля и т. д. Или это просто сумасшествие? Или это возможно, но за пределами современной математики?

Хуанрга · Answer 1

Краткий ответ: Нет , классическая механика не восстанавливается в $\hbar \rightarrow 0$ предел квантовой механики.

Бумага Что такое предел $\hbar \rightarrow 0$ квантовой теории? (Принято к публикации в Американском журнале физики) обнаружил, что

Наш окончательный результат состоит в том, что NM нельзя получить из QT, по крайней мере, с помощью математического процесса ограничения. $\hbar \rightarrow 0$ [...] мы математически показали, что уравнение. (2) не следует из уравнения (1).

«NM» означает ньютоновскую механику и квантовую теорию «QT». Их «уравнение (1)» - это уравнение Шредингера, а «уравнение (2)» - это уравнения Гамильтона. Страница 9 этой более поздней статьи (мной) как раз посвящена вопросу о том, почему никакая волновая функция в гильбертовом пространстве не может дать классическую дельта-функцию вероятности.

Уважаемый @juanrga, к вашему сведению, Physics.SE придерживается политики , согласно которой можно цитировать себя, но это должно быть четко и ясно указано в самом ответе, а не в прикрепленных ссылках. Также не рекомендуется публиковать почти идентичные ответы на похожие сообщения.
Отредактировано, хотя в политике говорится только, что «вы должны раскрывать личные связи всякий раз, когда вы ссылаетесь на что-то, с чем вы связаны», и ник делает связь довольно очевидной. Относительно почти идентичных вопросов ожидается, что ответы будут очень похожими и цитируемый материал отвечает на оба вопроса. Как ответить в таком случае?
В таких случаях часто лучше просто пометить/прокомментировать повторяющиеся вопросы, чтобы их можно было закрыть.
Итак, ответ «да» или «нет»? Можно ли считать постоянную Планка переменной в пределе нуля или это не удается? Кажется, многие люди верят, что это работает и может создать любое представление классической механики.

Арнольд Ноймайер · Answer 2

Классический предел достигается только в том случае, если квантовая система находится в достаточно хороших состояниях. Состояния, в которых классический предел имеет смысл, называются когерентными состояниями. Например, глауберовские когерентные состояния ангармонического осциллятора обозначаются классическими координатами фазового пространства $(q,p)$ .

Если система находится в когерентном состоянии, то для каждого наблюдаемого $A$ с $\langle A\rangle = \overline A$ , дисперсия $\langle (A- \overline A)^2 \rangle$ десятков до нуля в пределе $\hbar\to 0$ . Более того, динамика в пределе сводится к динамике классической системы на соответствующем фазовом пространстве.

Для глауберовского когерентного состояния это связано с классическим пределом функций Вигнера; см., например,
http://www.iucaa.ernet.in:8080/xmlui/bitstream/handle/11007/206/256_2009.PDF?sequence=1
. Но приведенное выше утверждение можно доказать для многих классов когерентных состояний и многих фазовых пространств, а не только для глауберовских когерентных состояний. О случае когерентных состояний, связанных с квантованием Березина, см., например, https://arxiv.org/abs/math-ph/0405065 .

Существует большое количество часто цитируемых статей о классическом пределе, например
, квантовые-раздел-функции/cmp/1103907536.полный
http://projecteuclid.org/euclid.cmp/1103859623

Ссылка iucaa.ernet.in не работает. Ссылка: doi.org/10.1007/s12045-009-0091-8 Это правильная статья?

Анна В · Answer 3

Если кому-то действительно интересно , это эссе Любоша Мотла объясняет, как классические поля возникают из квантово-механических.

Цитирую введение:

После очень краткого изложения правил квантовой механики я представляю широко распространенный «математический предел», основанный на малости постоянной Планка. Однако это не совсем объясняет, почему мир кажется нам классическим. Я рассмотрю две несколько разные ситуации, которые, тем не менее, охватывают почти все примеры классической логики, вытекающие из квантовой отправной точки:

Классические когерентные поля (например, световые волны), появляющиеся как состояние многих частиц (фотонов)

Декогеренция, которая заставляет нас интерпретировать поглощаемые частицы как точечные объекты и делает общие суперпозиции макроскопических объектов непригодными для четко определенных вопросов о классических фактах.

Джон Ренни · Answer 4

Ссылка Qmechanics дает хорошую иллюстрацию классического предела уравнения Шредингера.

На ваш вопрос о позиции: в квантовой механике можно получить позицию с произвольной точностью. Проблема в том, что принцип неопределенности означает, что импульс становится бесконечно неопределенным. В качестве $\hbar \rightarrow 0$ становится возможным получить и положение, и импульс с произвольной точностью.

То, чего я не понимаю, идет глубже этого. То, что вы говорите, имеет для меня смысл $\sigma_x \sigma_p = \hbar/2$ . Но это не то, как работает QM, мы должны объяснить, как $\sigma_x \sigma_p \ge \hbar/2$ пределы классического движения и взаимодействия. Если частица пролетит световой год, то разброс ее положения будет огромным, и эксперименты по интерферометрии можно будет проводить даже при малом(е) $\hbar$ . Казалось бы, очень сложно получить нестатистическую вселенную.

Субра · Answer 5

Субра

нет, волновая функция не приближается к дельта-функции в классическом пределе. пакет волновой функции все еще распространяется и запутывается в окружающей среде. Чего учебники не говорят вам, так это того, что вам нужна декогеренция, чтобы добраться до классического предела.

Александр

«пакет все еще распространяется» — не совсем. В пределе

ℏ \to 0

$\hbar\to 0$ , когерентные состояния концентрируются в сколь угодно малых областях фазового пространства, и

\hat{U} (t_{2} - t_{1})

$\hat{U}(t_2-t_1)$ транспортирует декогерентный волновой пакет, локализованный в

x_{1}

$\mathbf{x}_1$ по классической траектории.

аланф · Answer 6

Если кто-то сказал вам, что классическая физика — это ℏ→0 предел квантовой механики, этот человек ошибается. Одна проблема с попыткой понять распространение волновой функции в классическом пределе, взяв ℏ≈0 или приняв предел ℏ→0, заключается в том, что на самом деле ℏ≠0. Принимая действительное ненулевое значение ℏ, есть случаи совершенно обычных объектов, для которых теорема Эренфеста не подразумевает ничего похожего на классическое поведение. Скорее волновая функция этого объекта сильно расширяется во времени. См. статью Цурека и Паза о квантово-механической теории орбиты спутника Сатурна Гипериона:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/9612037

Классический предел на самом деле является результатом декогеренции и копирования информации из «классических» объектов в окружающую среду:

https://arxiv.org/abs/quant-ph/0703160

Классический предел квантовой механики

мазок

Qмеханик

DJBunk

Арнольд Ноймайер

Эмилио Писанти

Qмеханик

Дэвид Спектор

Ответы (6)

Хуанрга

Qмеханик

Хуанрга

Qмеханик

Дэвид Спектор

Арнольд Ноймайер

Апурв Потнис

Анна В

Джон Ренни

Алан Роминджер

Субра

Александр

аланф

Почему −iℏ∇⃗ −iℏ∇→-i\hbar\vec\nabla для импульса в квантовой механике, а mv⃗ mv→m\vec{v} в классической механике?

Гамильтониан молекулы воды, связанной с поверхностью

Является ли Вселенная машиной Тьюринга?

Классический предел в квантовой механике

Разница между гамильтонианом в классической механике и в квантовой механике

Почему мы используем операторы в квантовой механике?

ℏ→0ℏ→0\hbar \rightarrow 0 в квантовой механике

Теорема вириала для атомов

Сила Лоренца в теории Дирака и ее классический предел

Классическая и квантовая энергия атома водорода