Является ли Вселенная машиной Тьюринга?

Читая о вычислимых числах, я задался вопросом, есть ли какой-нибудь физический эксперимент, который возвращает невычислимые числа, или есть ли какая-либо физическая теория, которая нуждается в невычислимых числах. Потому что, если бы это было так, мы бы доказали, что Вселенная не является «просто» симуляцией внутри машины Тьюринга.

Измерения и эксперименты приводят к рациональным числам (поскольку в качестве результатов мы записываем десятичные числа конечной точности), которые все «вычислимы».

Физические теории используют действительные числа и их непрерывность в формулировке дифференциальных уравнений. Однако это не доказывает, что Вселенная не является симуляцией дискретного состояния или наоборот. Непрерывность в физических теориях не имеет прямого отношения к тому, таков ли мир на самом деле, потому что при достаточно коротких шагах это различие не имеет проверяемого различия.

РЕДАКТИРОВАТЬ Я должен добавить, что воспроизвести все свойства физических законов с помощью компьютерной модели очень сложно. Любая дискретизация всегда вводит некоторое поведение, которое каким-то образом не соблюдает физические законы. Например, дискретизированное пространство, каким бы плотным оно ни было, не может быть точно изотропным. Физические законы, такие как уравнения Максвелла для электромагнитного поля или уравнения Эйнштейна для гравитации, если мы примем их за точные, не могут быть точно воспроизведены с помощью дискретных моделей. Это не означает, что Вселенная не может быть дискретной, просто такая дискретность должна проявляться каким-то образом, противоречащим этим физическим законам. Если это так, то эти проявления слишком малы, чтобы их обнаружить или ускользнуть от нас.

Как указывает Себастьян Ризе, квантовая механика вычислима. Интересно, что классическая механика, как известно, невычислима. Если бы классическая механика была действительна во всех масштабах длины и времени, то вы могли бы построить так называемый «быстро ускоряющийся компьютер», то есть компьютер, который ускоряется так, что следующий такт выполняется вдвое быстрее, чем предыдущий такт. Это означает, что бесконечное количество вычислений может быть выполнено за конечное время. Затем можно проверить истинность теорем, а также проверить, является ли эта теорема, о которой известно, что она истинна или ложна, на самом деле доказуемо истинна или ложна.

Например, гипотеза Римана может быть ложной, и в этом случае она доказуемо ложна (просто точка этого нуля, которая не находится на критической прямой), или она верна, и в этом случае для нее может существовать или не существовать доказательство. Доказательство — это просто аргумент конечной длины, демонстрирующий, что он верен, и такого доказательства может не быть.

Быстро ускоряющийся компьютер может просто проверить все нули один за другим и сделать это со счетно бесконечным числом нулей за конечное время, а затем вернуть результат о том, все ли они находятся на критической прямой. Кроме того, он может генерировать все доказательства теорем, используя алгоритм проверки доказательств Гильберта, а затем проверять, встречает ли он когда-либо доказательство теоремы, демонстрирующее, что гипотеза Римана верна.

Но мы, конечно, знаем, что классическая механика ложна. Но хотя квантовая механика поддается вычислению, это возможно только в том случае, если вы отслеживаете унитарную эволюцию изолированной системы. Если вы выполняете измерения, то в интерпретациях без коллапса предполагается, что реализуются все возможные результаты измерений, и вычисляется весь этот набор результатов измерений. Что не поддается исчислению, так это индивидуальные результаты, которые вы наблюдаете в каком-то конкретном секторе. Таким образом, если вы неоднократно измеряете z-компоненту спина, поляризованного в направлении x, вы получите случайный набор результатов измерения. Если вращение вниз заменяется на 0, а вращение вверх на 1, и вы ставите десятичную точку (или это называется «двоичная точка»?) впереди, то число между 0 и 1, которое вы получаете, невычислимо.