Когда именно ошибка в исчислении стремится к нулю?

Я думаю, что нет общего правила для принятия решения, когда ошибка стремится к нулю. Как вы иллюстрируете, существует бесконечное множество случаев. Вы должны проверить уместность аппроксимации, сделанной в каждом случае.

Возьмем ваш первый пример, который я упрощу до двумерных задач нахождения площади и периметра круга.

Аппроксимируйте площадь круга горизонтальными полосами, не выходящими за периметр. По мере того, как полосы становятся более узкими, общая площадь полос увеличивается, следовательно, погрешность уменьшается. В пределе бесконечно малых полос мы получаем точное значение площади.

Приблизьте периметр круга, используя горизонтальные и вертикальные прямые линии, как это сделано в парадоксе в вопросе Math SE Is$\pi = 4$?

Начните с аппроксимации круга квадратом периметра 4. Затем сделайте углубления, удалив углы - периметр по-прежнему равен 4. По мере удаления все большего и большего количества углов результирующая кривая лестницы все больше приближается к кругу, но периметр остается прежним. . Ошибка никогда не становится меньше .

Правильный способ сделать это приближение - использовать гипотенузу треугольников в качестве элемента периметра. В то время как длина ступенчатой ​​кривой никогда не становится меньше, общая длина гипотенуз уменьшается по направлению к окружности круга.

В ответах Math SE указано, что кривая лестницы не приближается к кругу плавно . Гладкость связана с производными, поэтому, по-другому, можно сказать, что хотя две кривые могут быть сколь угодно близкими в какой-то точке, их производные в этой точке могут существенно различаться.

Ключом к тому, чтобы аппроксимация давала правильный результат при интегрировании, является проверка гладкости аппроксимации . Вы можете видеть, что кривая лестницы никогда не становится более гладкой — она всегда неровная, если смотреть на нее в достаточно мелком масштабе. Таким образом, он никогда не может обеспечить точное приближение к кругу.

С практической точки зрения проверка гладкости аппроксимации — это то же самое, что вы ищете для сокращения, т. е. проверка того, что ошибка стремится к нулю. Я думаю, что нет ни короткого пути, ни простой альтернативы проверке в каждом случае того, что аппроксимация действительно приближается к тому, к чему она аппроксимируется, по мере уменьшения размера шага. Во многих случаях вы узнаете из опыта, что это работает. В противном случае вам нужно убедиться, что ошибка действительно уменьшается до нуля при уменьшении размера шага.

Другие ваши примеры:

2. Пока$ds=r\delta \theta$работает, когда центр находится в начале координат O (и$s=r\theta$на самом деле точен даже для конечных углов), он не работает, когда точка на окружности является началом. Когда OA является диаметром, отношение$ds=r\delta\theta$хорош как$\delta\theta \to 0$, но по мере того, как A приближается к O, OA сжимается до нуля, и приближение становится все более плохим - как показывает ваша нарисованная от руки диаграмма. Ваше предположение ("Возможно, ошибка:$r\delta\theta \ne ds$") верно.

3. (i) Пружина и блок. Вы выразили силу пружины через$y$, так что ваша ошибка не в том, чтобы сделать это. Ваша ошибка заключается в том, что вы не можете связать$dx, dy$правильно:$dy=\sin\theta dx$. Тогда проделанная работа$kxdx=kxdy/\sin\theta$. Диаграмма, связывающая$dx$и$dy$поможет вам избежать этой ошибки.

(ii) PE цепи. Высота см$h=R(1-\cos\theta)$так$dh=R\sin\theta d\theta$нет$R d\theta$. Ваша ошибка снова в том, что вы не нарисовали диаграмму, чтобы связать$dh$к$Rd\theta$.

(iii) Давление в чаше. Недостаточное объяснение того, что вы делаете. Вы, кажется, проигнорировали$l=2\pi R\cos\theta$.

Для анализа бесконечно малого шага, примененного к евклидову триггеру, если ваше выражение, представляющее расстояние или проделанную работу (которую вы называете «ошибкой»?), не стремится к 0, поскольку размер шага стремится к нулю, выражение неверно. Это, безусловно, относится к вашим текущим ответам в разделах 2 и 3.
Каждый термин в интегрируемом или дифференцируемом выражении должен быть выражен таким образом, чтобы его зависимость от переменной интеграции/дифференциации была зафиксирована и подвергнута интеграции/дифференцированию.