Работает ли ньютоновская механика в полярных координатах?

Ваш учитель не прав.$\vec F = m \vec a$справедливо в любой инерциальной (неускоряющей) системе координат. Вы должны учитывать тот факт, что единичные векторы положения в некоторых системах координат (например, в полярных) не имеют постоянного направления и меняются со временем. См. хороший текст по физической механике, такой как Symom Mechanics, для правильного ускорения.$\vec a$в таких системах координат, где правильно учитываются временные производные единичных векторов положения.

На самом деле ньютоновскую механику можно заставить работать над любым римановым многообразием любой размерности. На самом деле это специализация лагранжевой механики.

Это называется геометрической механикой, как описано в книге Калина и Чанга « Геометрическая механика над римановыми многообразиями» , в частности, см. раздел 3.8, где они описывают естественный лагранжиан на таком многообразии как разницу между кинетической и потенциальной энергией. Они также описывают формы работы и импульса и выражение, связывающее работу с импульсом.

Тогда в теореме 3.20 говорят, что частица на многообразии очерчивает путь$c$является экстремайзером естественного лагранжиана тогда и только тогда, когда он подтверждает второй закон движения Ньютона в этом контексте, то есть:

$F = \ddot{c} = \nabla_{\dot{c}} \dot{c}$

Здесь$F$сила, придаваемая$-\nabla V$где$V$есть некоторый энергетический потенциал на многообразии.

Это, кстати, означает, что ньютоновская механика работает в полярных координатах или в любой другой системе координат.

Здесь стоит отметить, что при силе$F$обращается в нуль, мы получаем уравнение для геодезической: кривая$c$является геодезической, когда:

$\ddot{c} = 0$

Таким образом, мы имеем аналог первого закона Ньютона для римановых многообразий: когда сила, действующая на частицу, обращается в нуль, частица движется по геодезической. А когда это многообразие представляет собой обычное аффинное евклидово пространство, то это просто прямые линии.

Все сказанное остается верным для полуримановых многообразий, в частности для лоренцевых многообразий. Таким образом, один из способов описания уравнения геодезии в ОТО состоит в том, чтобы сказать, что это путь, по которому движется покоящаяся частица, где частица покоится, когда на нее не действует никакая сила. Обычно говорят, что нет абсолютных систем покоя, но на этом языке есть система света или люксонов (безмассовых частиц).

Ваш учитель определенно не прав. На самом деле вся суть$\vec{F}=m\vec{a}$записывается как векторное уравнение, чтобы подчеркнуть, что уравнение не зависит от системы координат, которую вы выбрали для представления векторов.

На самом деле, давайте развенчаем контрпример вашего учителя, проверив$\vec{F}=m\vec{a}$в декартовых и полярных координатах. Предположим, что частица следует по траектории, описанной вашим учителем, без ограничения общности предположим, что начальная$x$координата равна нулю, и сила, действующая на частицу, всегда равна нулю.

Декартова система координат

Сначала запишите траекторию в декартовых координатах и ​​убедитесь, что она удовлетворяет второму закону Ньютона.

Вектор положения частицы равен (без ограничения общности примем начальный$x$координата 0):

Отсюда прямым дифференцированием можно увидеть, что$\vec{a} = \vec{0}$. Это удовлетворяет второму закону Ньютона, потому что$\vec{F} = m\vec{a}$, когда$\vec{F}=0$,$\vec{a}=0$.

Полярная система координат

А полярные координаты? Напомним, что в полярных координатах единичный радиальный вектор$\hat{r}$всегда указывает вдоль вектора смещения$\vec{r}$и единичный вектор$\hat{\theta}$определяется как$\hat{r}$повернутый$90^o$по часовой стрелке. Теперь что$\vec{r}$представлены в полярных координатах? Ну просто, только:

Так как насчет скорости частицы?

Вот ключевое различие между декартовыми и полярными координатами: в декартовых координатах базисный вектор фиксирован в пространстве, поэтому второй член всегда равен нулю, и нам просто нужно дифференцировать компонент. Однако, как можно себе представить, в полярных координатах единичный вектор$\hat{r}$на самом деле меняет направление по мере движения частицы! Поэтому у нас есть дополнительные члены в наших скоростях (фактически аналогично для ускорения).

Какова теперь производная по времени от$\hat{r}$(и аналогично$\hat{\theta}$так как мы все равно будем иметь этот термин в ускорении). Обычный способ найти его - сначала преобразовать$\hat{r}$и$\hat{\theta}$в декартово и взять производную по времени. Однако, поскольку в таком случае рассуждения могут показаться зацикленными, давайте рассмотрим задачу геометрически.

Во-первых, когда будет$\hat{r}$и$\hat{\theta}$изменится и как изменится? Что ж, некоторое воображение подскажет нам, что, поскольку$\hat{r},\hat{\theta}$являются единичными векторами , единственный способ, которым они могут измениться, — это когда они вращаются. Кроме того, поскольку$\hat{r}$указывает в том же направлении, что и$\vec{r}$и$\hat{\theta}$"заперт" относительно$\hat{r}$, мы знаем, что они изменятся только тогда, когда вектор смещения повернется вокруг начала координат на некоторый угол$d\theta$.

Далее рассмотрим следующий рисунок:

Как видите, когда$d\theta$маленький,$d\hat{r}$находится по направлению$\hat{\theta}$и$d\hat{\theta}$находится по направлению$-d\hat{r}$. Кроме того, если$d\theta$в радианах, длина всех этих векторов$d\theta \times 1$(т.е. длина дуги дуги заметается на$\hat{r}$и$\hat{\theta}$). Отсюда получаем следующее уравнение:

Следовательно, разделив обе стороны на$dt$, у нас есть:

Используя эти уравнения и просто дифференцируя$\vec{r}$, Мы будем иметь:

Теперь что$\theta(t)$и$r(t)$на примере вашего учителя? Ну по определению:

Итак, у нас есть только:

Подставив все обратно в формулу ускорения, мы получили:

После некоторой алгебры (вы можете позволить WolframAlpha сделать тяжелую работу) оба компонента$0$. Таким образом, ускорение, измеренное в полярных координатах, на самом деле равно 0, что соответствует закону движения Ньютона.

Это пример того, как операторы обычно не коммутируют. То есть: если$x$и$y$являются переменными,$xy=yx$, но если$f$и$g$операторы,$fg$обычно не равно$gf$. Оператор — это набор инструкций о том, что делать с выражением, которое следует за ним. Рассмотрим на простом примере$f =$"добавь 5" и$g =$«умножить на 10». Затем$fgx = 10x+5$и$gfx = 10x + 50$. Если мы хотим поменять местами операторы, нам нужен третий оператор, который устраняет последствия изменения порядка. Предположим, мы начали с$gx$и хотел оперировать$x$с$f$. В этом случае мы могли бы ввести$h =$"вычесть 45". Затем$fgx = hgfx$.

Или мы могли бы ввести оператор, который отменяет$g$, с использованием$g^{-1}$= "делить на 10". Тогда мы можем использовать тождество$gfg^{-1}gx=gfx$.

Здесь «преобразовать декартово в полярное» и «взять производную по времени» являются операторами. Механика Ньютона сформулирована в декартовой системе координат, поэтому, если мы хотим работать с производной по времени и получать ньютоновские результаты, нам нужно либо декартово координатное выражение, либо третий оператор. То есть: либо «преобразовать полярное в декартово», как$g^{-1}$или «отменить последствия операции« преобразовать декартово в полярное »с« взять производную по времени »» как$h$.

это уравнения НЬЮТОНА в декартовых координатах (ваш случай)

и начальные условия$\dot x(0)=v_0~,\dot y(0)=0~$и$~x(0)=0~,y(0)=y_0$

с :

вы переносите ЭОМ в полярное пространство и получаете два дифференциальных уравнения$~\ddot r=\ldots~,\ddot\phi=\ldots$

вы должны передать также начальные условия

от

и из

теперь вы можете решить полярные EOM и получить$~r(t)~,\phi(t)~$и с уравнениями (1) ,(2)$~x(t)~,y(t)$

Общее решение

вы получаете то же решение с декартовыми координатами

заключение

вы получите одно и то же решение в декартовых координатах и ​​полярных координатах, только если вы можете отобразить начальные условия. это тот случай, если

с

Ньютоновская механика не зависит ни от какой системы координат.

Однако гораздо проще записать уравнения в декартовых координатах, чем в полярных.

Это зависит от того, что понимать под «работой в этих координатах». В двумерных декартовых координатах объект, движущийся с постоянной скоростью, имеет координаты$(x_0+v_xt,y_0+v_yt)$. Если кто-то хочет перевести это в полярные координаты просто$(r_o+v_rt,\theta_0+v_{\theta}t)$, это действительно "не сработает". Форма уравнений ньютоновской механики не будет одинаковой в полярных координатах, и поэтому декартовы формы координат этих уравнений «не будут работать».

Имейте в виду, что система координат — это просто система присвоения чисел точкам в пространстве (или, в теории относительности, событиям в пространстве-времени). Система координат, по определению, каким-то образом присваивает числа всему, что происходит, просто математика в одних системах координат проще, чем в других. Пространство существует независимо от системы координат, как и физика. Единственное, что различается между системами координат, — это числа, которые присваиваются точкам, поэтому единственное, что может «не работать», — это начинка с этими числами, а не сама механика.

Например, в декартовых координатах числа, представляющие сумму двух векторов, можно получить, взяв сумму чисел, представляющих два добавляемых вектора, но это не работает в полярных координатах. В декартовых координатах, если у вас есть вектор положения (который на самом деле не является вектором, он на самом деле находится в аффинном пространстве, но все уже достаточно сложно, не вдаваясь в это) задается в терминах функции, дающей координату x, и другой функции задавая координату y, вектор скорости можно получить, просто взяв производные этих функций, но это не работает в полярных координатах. Однако числа, представляющие точку, не совпадают с самой точкой, и факты о первой не следует путать с фактами о второй.

Преимущество декартовых координат в том, что мы можем рассматривать векторы как простые индексированные функции. Но есть дополнительная возможность, о которой нельзя забывать при изменении переменных: координатная основа.

Вектор скорости примера OP может быть выражен в полной форме как:

$v_1(X^1, X^2) = V^1B_{11} + V^2B_{21}$
$v_2(X^1, X^2) = V^1B_{12} + V^2B_{22}$

В декартовых координатах,$X^1 = x$,$X^2 = y$,$V^1 = v_x$,$V^2 = v_y$,$B_{11} = 1$,$B_{12} = 0$,$B_{21} = 0$,$B_{22} = 1$

Сюда:
$v_1(x,y) = V^1$и$v_2(x,y) = V^2$- знакомые декартовы компоненты индексированной функции (и вектора)$v(x,y)$.

При переходе к полярным координатам можно получить$B_{ab}$и$V^a$такой, что$v_b$не меняйся. Здесь:
$B_{11} = cos(\theta)$,$B_{12} = sin(\theta)$,$B_{21} = -Rsin(\theta)$,$B_{22} = Rcos(\theta)$,$X^1 = R$,$X^2 = \theta$,$V^1 = v_R$,$V^2 = v_{\theta}$

Так:
$v_1(R, \theta) = v_Rcos(\theta) - v_{\theta}Rsin(\theta)$
$v_2(R, \theta) = v_Rsin(\theta) + v_{\theta}Rcos(\theta)$

В примере$v_1 = v_0$и$v_2 = 0$. Легко понять, что для сохранения тех же значений:

В полярных координатах компоненты меняются со временем, чтобы этот вектор был постоянным со временем по желанию. Векторные уравнения законов Ньютона верны, но понятие того, что такое вектор, необходимо хорошо понимать.

Я думаю, ваш учитель хотел сослаться на тот факт, что, используя полярные координаты,$\mathbf{F} = m \mathbf{a}$не будет выполняться вообще (по компонентам). Конечно, физические законы выполняются в любой системе координат, но записать ускорение в полярных координатах сложно.

Рассмотрим приведенный выше пример с поездом. Скорость поезда в полярных координатах явно меняется в компонентах. Существует радиальная скорость, которая возникает из-за того, что расстояние между началом координат и поездом не растет линейно. И есть также полярная скорость, возникающая из-за нелинейного изменения полярного угла. Значит скорость поезда в полярных координатах меняется. Точнее, компоненты скорости меняются . Полная скорость явно постоянна, так как на поезд не действует результирующая сила.

Я думаю, ваш учитель пытался указать, что, используя второй закон Ньютона по компонентам, вы получите некоторую ерунду для физики, если не будете осторожны. Но, как указывалось в предыдущем ответе, можно обобщить ньютоновскую механику и на другие геометрии.

Законы Ньютона — это векторные соотношения, не зависящие от систем координат. Вполне вероятно, что ОП неверно истолковывает заявление профессора. Например, может иметь место один из следующих случаев:

• Что сложение компонентов векторов в криволинейных координатах (таких как полярные координаты) не так просто, как в прямоугольных координатах
• Что законы Ньютона не работают во вращающейся системе отсчета.

Также возможно, что профессор сказал то, что сказал на самом деле, просто для того, чтобы предостеречь от предсказуемых ошибок, которые допускает большинство студентов (увы, после года или двух преподавания одного и того же курса ошибки и вопросы весьма предсказуемы), но это упрощение сделало утверждение действительно неверно, если его изучить более тщательно.