Когда использовать и не использовать закон Гаусса?

Остальные ответы правильные. На всякий случай, если вы не видите это очень ясно, вот моя попытка. Есть несколько идей.

1.- Поток поля через поверхность определяется как

$\iint \vec{E}\cdot d\vec{S}$, с$d\vec{S}=\hat{n} dS$

2. Закон Гаусса гласит, что

$\iint \vec{E}\cdot d\vec{S}= \frac{Q_{int}}{\varepsilon_0}$

Итак, идея в том, что закон Гаусса говорит не об электрическом поле, а о его потоке через замкнутую поверхность . Это ключевая идея. По какой-то причине кажется, что это недостаточно освещено для новых студентов, но это просто.

Так, например, на вашей первой картинке... если взять синюю, то внутри заряда нет. Значит ли это, что электрического поля нет? НЕТ! Это просто означает, что поток равен 0. Конечно, потому что существует столько же входящих и исходящих линий потока. Каждая линия, возникающая из зарядов и попадающая внутрь синего круга, должна снова пройти через круг (с другой стороны), потому что внутри синего круга нет стоков.

Тогда почему красный кружок работает?

Последняя идея заключается в том, что если вы хотите получить электрическое поле, вам нужно найти способ$\vec {E}$вне интеграла. Для этого нужно выбрать подходящую поверхность. Другими словами, закон Гаусса верен ВСЕГДА, но получить электрическое поле полезно только в очень частных случаях. Вы должны быть достаточно умны, чтобы выбрать правильный. Ключи:

1. Найдите поверхность, у которой угол между$\vec{E}$и нормальный$\hat{n}$постоянна и предпочтительно равна 0. Это позволяет вам изменить$\vec{E}\cdot d\vec{S}$для$E\ dS \cos \theta$.
2. Теперь поверхность должна быть такой, чтобы$E$постоянна вдоль поверхности. Только по поверхности. ЕСЛИ да, то можно взять$E$вне интеграла, поэтому

$E \cos \theta \cdot \iint dS = Q/\varepsilon_0$

$\Rightarrow \quad E \cos \theta = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}$

И это только частный случай.

Закон Гаусса — это утверждение о чистом потоке$\vec E$и не позволяет сделать вывод$\vec E$за исключением особых обстоятельств. Одной из таких ситуаций является случай, когда поток однороден на гауссовой поверхности. В этом случае

В случае вашей синей сферы поток НЕ является постоянным на поверхности, и поэтому вы не можете заключить, что$\vec E=0$используя информацию из потока$\vec E$через эту поверхность. (Интуитивно) ясно, что часть сферы, которая находится вблизи оси и ближе к исходному заряду, будет иметь больший (и отрицательный) поток, чем часть, которая находится вблизи оси, но на дальней стороне вашей сферы. Конечно, чистый поток$0$, но потому что$\vec E$не постоянна на поверхности вашей синей сферы вы не можете писать$\oint \vec E\cdot d\vec S=\vert \vec E\vert 4\pi R^2$в (2) и поэтому не может вывести из потока значение поля.

Тот же тип анализа относится и к вашему второму примеру. поток$\vec E$не постоянна на этой сфере, поэтому знание потока бесполезно для получения$\vec E$на той сфере.

Аналогия будет такой. Представьте, что я даю вам чистую сумму денег в вашем кармане и говорю, что все монеты имеют одинаковую ценность. Вы можете легко вычислить значение любого счетчика. Чистая сумма денег является аналогом чистого потока, условие, что все монеты имеют одинаковую стоимость, является аналогом$\vert \vec E\vert$постоянна на поверхности, а стоимость одной монеты равна стоимости$\vec E$в любом месте. Конечно, если монеты не имеют одинаковой стоимости, вы не можете (в общем случае) определить стоимость одной монеты, зная только общую сумму в вашем кармане.

Закон Гаусса гласит, что поток через поверхность электрического поля равен содержащемуся заряду, деленному на$\epsilon_0$Что касается вашего первого вопроса, когда вы вычисляете электрическое поле, используя синюю поверхность, вы учитываете только электрическое поле, создаваемое тем, что находится внутри синей поверхности, поэтому, конечно, вы получаете 0. Расчет поля с помощью красной поверхности дает вам правильный ответ. . На самом деле здесь действует принцип соврапопозиции. Поле в интересующей вас точке вы можете принять как сумму поля, создаваемого тем, что находится внутри синей поверхности, с тем, что находится внутри красной поверхности, тем самым согласовывая результаты. Что касается вашего второго вопроса, помните, что, используя закон Гаусса, вы можете утверждают, что чистый поток через чистую поверхность равен нулю, но не что поле равно нулю в начале координат. Теперь, взяв две поверхности, окружающие оба заряда,

Закон Гаусса связывает поверхностный интеграл нормальной составляющей электрического поля с зарядом внутри. Ключом к разрешению вашего «парадокса» является симметрия.

В первом примере вы правы, что интеграл нормальной составляющей электрического поля равен нулю по второй поверхности. Но то, что интеграл равен нулю, не означает, что поле равно нулю. Подумайте об этом, интеграл равен нулю просто означает, что суммы на разных частях поверхности компенсируют друг друга. Чтобы привести одномерный пример$\int_0^{2\pi} sin(x)=0$даже когда функция отлична от нуля почти всюду.

Использование первой поверхности дает правильный результат, потому что после размещения поверхности результирующая фигура становится сферически симметричной. Таким образом, можно сделать вывод, что величина нормальной составляющей электрического поля будет одинаковой во всех точках первой поверхности. Таким образом$E\times 4\pi r^2 = q$. Обратите внимание, что это позволяет вам сделать вывод только о нормальном компоненте. Вам все еще нужно указать причину, по которой тангенциальная составляющая равна нулю.

Вы на самом деле находите полный магнитный поток через поверхность Гаусса из-за зарядов, которые находятся внутри поверхности.
Итак, на вашей первой диаграмме внутри синей гауссовой поверхности нет зарядов, и поэтому вы обнаружите, что общий поток через синюю гауссову поверхность равен нулю, и по симметрии вы затем говорите, что электрическое поле из-за этой области, заключенной в синюю гауссову поверхность, равно нуль.

Если я использую закон Гаусса для расчета электрического поля в точке А

Это невозможно сделать напрямую, потому что закон Гаусса говорит вам о чистом электрическом потоке, проходящем через поверхность Гаусса.

Так что вы должны работать$\displaystyle \int _{\rm S} \vec E \cdot d \vec A$.
С тщательно выбранной гауссовой поверхностью можно сказать, что скалярное произведение всегда равно$E\, dA$с$E$постоянная, которую можно вынести из интеграла.
Если вы посмотрите на диаграмму ниже, то заметите, что с синей поверхностью Гаусса вы не можете этого сделать.

Я нарисовал поверхность примерно симметричной, так что электрический поток, проходящий через поверхность с правой стороны, равен электрическому потоку, проходящему через гауссову поверхность с левой стороны.
Таким образом, чистый электрический поток через поверхность равен нулю, чего и следовало ожидать, поскольку чистый заряд внутри поверхности равен нулю.