Количество параметров группы Лоренца

Из специальной теории относительности мы знаем, что преобразование Лоренца:

$$\begin{equation} x'^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu x^\nu \end{equation}$$ сохраняет расстояние: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} \Delta x_\mu \Delta x_\nu = g^{\mu \nu} \Delta x_\mu' \Delta x_\nu' \end{equation}$$ Приведенные выше два уравнения означают: $$\begin{equation} g^{\mu \nu} = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \end{equation}$$ Теперь рассмотрим бесконечно малое преобразование: $$\begin{equation} \Lambda_\nu {}^\mu = \delta_\nu{}^\mu + \omega_\nu{}^\mu + O(\omega^2) \end{equation}$$ такой, что мы можем написать: $$\begin{equation} \begin{aligned} g^{\mu \nu} & = g^{\rho \sigma}\Lambda_\rho {}^\mu \Lambda_\sigma {}^\nu \\& = g^{\rho \sigma} \left( \delta_\rho{}^\mu + \omega_\rho{}^\mu + \cdots \right)\left( \delta_\sigma{}^\nu + \omega_\sigma{}^\nu + \cdots \right) \\& = g^{\mu \nu} + g^{\mu \sigma} \omega_\sigma{}^\nu + g^{\rho \nu} \omega_\rho{}^\mu + O(\omega^2) \\& = g^{\mu \nu} + \omega^{\mu\nu} + \omega^{\nu \mu} + O(\omega^2) \end{aligned} \end{equation}$$ и так: $$\begin{equation} \omega^{\mu\nu} = - \omega^{\nu \mu} \end{equation}$$ Таким образом, матрица $\omega$это $4 \times 4$ антисимметричная матрица, которая соответствует $6$независимые параметры (т.е. $3$параметры, соответствующие бустам и $3$параметры, соответствующие вращениям).

Это так же, как вы знаете, что есть три параметра в$SO(3)$. Уравнение$\Lambda^T \eta \, \Lambda = \eta$имеет$(n^2+n)/2$независимые скалярные уравнения. Чтобы увидеть это, запишите уравнение в компонентной форме:$\Lambda^{\mu\nu} \Lambda_\mu{}^\rho = \eta^{\nu\rho}$. Теперь мы видим, что есть$n^2$уравнения скалярных уравнений, а поскольку$\eta$симметрична, а левая часть симметрична относительно$\nu$и$\rho$а также уравнения, связанные переключением$\nu$и$\rho$одинаковы. Таким образом, мы установили, что существуют$(n^2+n)/2$независимые скалярные уравнения.

С$\Lambda$имеет$n^2$компоненты, получаем$n^2-(n^2+n)/2 = n(n-1)/2$степени свободы. В$3D$это выходит к$3\cdot 2 /2=3$, И в$4D$это выходит к$4 \cdot 3/2=6$.

У вас есть два очень хороших ответа от Hunter и NowIGetToLearnWhatAHeadIs . Однако, наверное, полезно знать, что этот зверь$O(1,3)$изоморфна или локально изоморфна ( т. е. имеет ту же алгебру Ли) удивительному количеству других интересных групп, каждая из которых дает вам немного другой способ думать об этом. Во-первых, обратите внимание, что его компонент, связанный с тождеством$SO^+(1,3)$ортохронных собственных преобразований Лоренца (тех, которые сохраняют ориентацию пространства и времени одинаковыми, также называемых «ограниченной» группой Лоренца), конечно, определяет алгебру Ли.

1. $SO^+(1,3)\cong {\rm Aut}(\hat{\mathbb{C}}) \cong PSL(2,\mathbb{C})$изоморфна группе Мёбиуса всех преобразований Мёбиуса, которая, в свою очередь, изоморфна группе всех конформных преобразований единичной сферы. Таким образом, он определяется$z\mapsto \frac{a\,z+b}{c\,z+d}$с$a,\,b,\,c,\,d\in\mathbb{C}$и$a\,d-b\,c=1$. Таким образом, имеется три независимых комплексных параметра, т. е. шесть независимых реальных параметров;

2. Двойная обложка$PSL(2,\mathbb{C})$, а именно$SL(2,\mathbb{C})$(все еще локально изоморфный$SO^+(1,3)$) это группа всех$2\times 2$матрицы вида:

$$\exp\left(\frac{1}{2}\left[\left(\eta^1 + i\theta \gamma^1\right) \sigma_1 + \left(\eta^2 + i\theta \gamma^2\right) \sigma_2 + \left(\eta^3 + i\theta \gamma^3\right) \sigma_3\right]\right)$$

где$\sigma_j$— спиновые матрицы Паули,$\theta$угол поворота,$\gamma^1,\,\gamma^2,\,\gamma^3$- направляющие косинусы оси вращения и$\eta^1,\,\eta^2,\,\eta^3$компоненты быстроты преобразования Лоренца. Так что это похоже на общую матрицу$\exp\left(\frac{\theta}{2}\left(\gamma^1 \sigma_1 + \gamma^2 \sigma_2 + \gamma^3 \sigma_3\right)\right)$в$SU(2)$но с тремя комплексными параметрами, а не с тремя вещественными ($\theta \gamma^j$) для$SU(2)$. Итак, мы снова видим шесть реальных параметров.