Какова степень свободы такой матрицы?

Вот частичный ответ: я предлагаю его в надежде, что его метод поможет кому-то еще дать вам полный ответ.

Я предлагаю, чтобы лучшая постановка вашего вопроса могла бы быть:

Учитывая$n\times n$матрица положительных действительных чисел$r_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$, сколько можно произвольно выбрать, чтобы существовали реальные фазы$\phi_{j\,k};\;j,\,k\in 1\cdots n$такая, что матрица, элементы которой$r_{j\,k}\,\exp(i\,\phi_{j\,k})$является унитарным? Каковы отношения между теми, кого можно свободно выбирать, и остальными?

Вот предположение, обоснование которого я не совсем понимаю, как сделать его строгим на данный момент (именно поэтому я сказал, что это частичный ответ).

Гипотеза: Ответ$\frac{n\,(n-1)}{2}$

Что я знаю точно : ответ, по крайней мере,$\frac{n\,(n-1)}{2}$и самое большее$\frac{n\,(n+1)}{2}$

Чтобы увидеть это, мы работаем следующим образом.

Все унитарные матрицы имеют вид$e^H$, где$H$является кососимметричным (это верно в целом для$U(N)$Пример группы Ли, но есть связные группы Ли, которые не являются просто экспонентами своих алгебр. Однако для наших целей достаточно локальной (в окрестности единицы) истинности утверждения). Настоящая алгебра Ли$\mathfrak{u}(n)$из$n\times n$кососимметричные матрицы позволяют$n^2$размерные геодезические (экспоненциальные) координаты для группы Ли$U(N)$в каком-то открытом районе$\mathcal{U}\subset U(N)$матрицы идентичности внутри$U(N)$.

Точно так же величины и фазы$\frac{n\,(n-1)}{2}$комплексные числа выше главной диагонали$H\in\mathfrak{u}(n)$вместе с$n$мнимые ведущие диагональные элементы$H$(опять же, всего$n^2$действительные числа) служат уникальными координатами в окрестности$\mathcal{U}$.

Теперь лемма:

Лемма: существует окрестность$\mathcal{V}\subseteq \mathcal{U}$личности внутри$U(N)$такое, что для любого$\gamma\in\mathcal{V}$следующее$n^2$действительные числа служат уникальными координатами для окрестности$\mathcal{V}$: (1) действительная и мнимая части$\frac{n\,(n-1)}{2}$комплексные числа выше главной диагонали в$\gamma\in\mathcal{V}$вместе с$n$фазы элементов вдоль ведущей диагонали$\gamma$.

Доказательство: рассмотрим$f:\mathbb{R}^{n^2}\to\mathbb{R}^{n^2}$где$f$отображает координаты, указанные$\frac{n\,(n-1)}{2}$реальные части верхнего треугольника,$\frac{n\,(n-1)}{2}$мнимые части верхнего треугольника вместе с$n$ведущие диагональные чистые мнимые в элементе алгебры Ли$g=\log \gamma$на$\frac{n\,(n-1)}{2}$реальные части верхнего треугольника,$\frac{n\,(n-1)}{2}$мнимые части верхнего треугольника и$n$ведущие диагональные фазы элемента$\gamma$. Эта функция непрерывно дифференцируема и$\mathrm{d} f$обратим в начале координат; действительно$\mathrm{d} f=\mathrm{id}$там (при том, что$e^H = \mathrm{id} + H + O(H^2)$). Следовательно, по теореме об обратной функции существует некоторая открытая окрестность начала координат, в которой$f$обратим, поэтому всегда существует член алгебры Ли, экспонента которого имеет любой набор величин и фаз в верхнем треугольнике и любой набор фаз вдоль его ведущей диагонали, если все величины и фазы ведущей диагонали достаточно малы.$\;\square$

Итак, теперь мы знаем, что для унитарной матрицы, достаточно близкой к единице, мы можем выбрать любой набор$\frac{n\,(n-1)}{2}$величины меньше некоторого ненулевого максимума в его верхнем треугольнике, но не в его нижнем треугольнике, поскольку верхний треугольник вместе с ведущими диагональными фазами образует множество локальных координат вблизи единицы. Но в лучшем случае мы можем выбрать старшие диагональные величины, следовательно, правильный ответ лежит между$\frac{n\,(n-1)}{2}$и$\frac{n\,(n+1)}{2}$(включительно).

я подозреваю, что это$\frac{n\,(n-1)}{2}$, потому что в первом порядке величины ведущих диагностических элементов унитарной матрицы вблизи единицы равны единице, но, может быть, кто-то знает это наверняка.

Матрица, которую вы определили, состоит из неотрицательных элементов, скажем$a_{ij}$, и они удовлетворяют