Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Question

Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Кейт

$\begin{matrix} (3.16) & {Дж}^{мю ν} "=" я ({Икс}^{мю} \partial^{ν} - {Икс}^{ν} \partial^{мю}) . \end{matrix}$ $J^{\mu\nu} = i(x^\mu\partial^\nu-x^\nu\partial^\mu). \tag{3.16}$ Вскоре мы увидим, что эти шесть операторов генерируют три буста и три поворота группы Лоренца.
Чтобы определить правила коммутации алгебры Лоренца, теперь мы можем просто вычислить коммутаторы дифференциальных операторов (3.16). Результат $\begin{matrix} (3.17) & [{Дж}^{мю ν}, {Дж}^{р о}] "=" я (г^{ν р} {Дж}^{мю о} - г^{мю р} {Дж}^{ν о} - г^{ν о} {Дж}^{мю р} + г^{мю о} {Дж}^{ν р}) . \end{matrix}$ $[J^{\mu\nu},J^{\rho\sigma}]=i( g^{\nu\rho} J^{\mu\sigma} - g^{\mu\rho} J^{\nu\sigma} - g^{\nu\sigma} J^{\mu\rho} + g^{\mu\sigma} J^{\nu\rho} ). \tag{3.17}$

Это из стр. 39 книги Пескина и Шредера по квантовой теории поля. Написано, что операторы (3.16) порождают группу Лоренца. Итак, являются ли сами операторы (3.16) преобразованиями Лоренца?
Кроме того, я не могу найти способ вывести (3.17) из определения (3.16). Как работает метрика $g^{\nu\rho}$ появляться? Кто-нибудь может мне помочь?

Кейт

Как это связано с появлением метрики???

Прахар

Это появляется, потому что

\partial^{μ} x^{ν} = g^{μ ν}

$\partial^\mu x^\nu = g^{\mu\nu}$ .

Ответы (2)

Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Как это связано с появлением метрики???
Это появляется, потому что $\partial^\mu x^\nu = g^{\mu\nu}$ .

Б. Бергтун · Answer 1

Метрика появляется, потому что

\partial^{мю} {Икс}^{ν} "=" \partial^{мю} г^{р ν} {Икс}_{р} "=" г^{р ν} \partial^{мю} {Икс}_{р} "=" г^{р ν} {дельта}_{р}^{мю} "=" г^{мю ν}

$\begin{equation} \partial^\mu x^\nu = \partial^\mu g^{\rho\nu} x_\rho = g^{\rho\nu} \partial^\mu x_\rho = g^{\rho\nu} \delta^\mu_\rho = g^{\mu\nu} \end{equation}$ (запишите значение

\partial^{μ}

$\partial^\mu$ понять, почему это должно быть так). Используя это соотношение, несложно вывести уравнение (3.17) из (3.16).

Что касается того, $J^{\mu\nu}$ являются преобразованиями Лоренца, ZeroTheHero совершенно прав; используя это

\begin{matrix} (1) & опыт (- я ю_{мю ν} {Дж}^{мю ν}) "=" \sum_{н "=" 0}^{\infty} \frac{(- я ю_{мю ν} {Дж}^{мю ν})^{н}}{н!} "=" \underset{н \to \infty}{лим} {(1 - \frac{я ю_{мю ν} {Дж}^{мю ν}}{н})}^{н}, \end{matrix}

$\begin{equation} \exp(-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}) := \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu})^n}{n!} = \lim_{n\to\infty} \left(1 - \frac{i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}}{n}\right)^n , \tag{1} \end{equation}$ (с некоторыми ограничениями на

ω_{μ ν}, J^{μ ν}

$\omega_{\mu\nu}, J^{\mu\nu}$ ) можно показать, что образующие

J^{μ ν}

$J^{\mu\nu}$ «генерирует» представление группы Лоренца посредством многократного умножения/композиции [ср. последнее равенство в (1)].

ZeroTheHero · Answer 2

Конечно $J^{\mu\nu}$ не являются преобразованиями Лоренца, не более $L_x$ или $L_y$ являются вращениями. $J^{\mu\nu}$ являются генераторами группы Лоренца в том смысле, что экспоненциальные

\begin{matrix} (1) & опыт (- я ю_{мю ν} {Дж}^{мю ν}) \end{matrix}

$\exp\left(-i \omega_{\mu \nu}J^{\mu\nu}\right) \tag{1}$ является преобразованием Лоренца, как и

\exp [- i (ζ_{x} L_{x} + ζ_{y} L_{y} + ζ_{z} L_{z}]

$\exp[-i(\zeta_xL_x+\zeta_yL_y+\zeta_zL_z]$ является ротацией.

Как и в случае с группой вращения, где можно разложить общее вращение как произведение $\exp[-i\alpha L_z]\exp[-i\beta L_y]\exp[-i \gamma L_z]$ , с $\alpha$ функция $\zeta_x,\zeta_y,\zeta_z$ конечно, уравнение (1) можно записать в различной факторизованной форме с разными параметрами как сложные функции $\omega_{\mu\nu}$ .

Спасибо за ваше объяснение. Не могли бы вы также объяснить коммутационные соотношения?
Что тут объяснять? Вы просто подключаете коммутаторы так же, как и для углового момента.

Коммутационные соотношения образующих группы Лоренца

Кейт

Кейт

Прахар

Ответы (2)

Б. Бергтун

ZeroTheHero

Кейт

ZeroTheHero

Композиция преобразований Лоренца с использованием образующих и вращения Вигнера

Как построить образующие и алгебру Ли для группы Лоренца?

Как бы я связал Λ=e−iωμνJμν/2Λ=e−iωμνJμν/2\Lambda=e^{-i\omega_{\mu\nu}J^{\mu\nu}/2} с матрицей усиления Лоренца?

Вигнеровское вращение

Интерпретация коммутаторов генераторов Пуанкаре

Разница между группой Лоренца и группой Пуанкаре

Квантование заряда Лоренца

контравариантные компоненты тензора электромагнитного поля при преобразовании Лоренца

Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства

Какова физическая интерпретация некоммутирующих импульсов Лоренца?