Вигнеровское вращение

Что ж, вы должны составить две экспоненты некоммутирующих повышающих генераторов, возможно, с помощью тождества расширения CBH или просто расширив каждую экспоненту до нескольких низких порядков в параметрах быстроты ξ , как предлагает статья WP , и использовать коммутаторы. В вашем случае нужно$[K_y,K_x]=S_z$,$[K_y,S_z]=-K_x$, и$[K_x,S_z]=K_y$, которые близки к SU(2)!

То есть, так сказать,

$$e^{-\xi_yK_y}e^{-\xi_xK_x}\\ = \Large e^{-\xi_yK_y-\xi_xK_x +\frac{\xi_y\xi_x}{2} [K_y,K_x]- \frac{\xi_y\xi_x}{12}(\xi_y [K_y,[K_y,K_x]] + \xi_x [K_x,[K_x,K_y]] )+... }\\= \Large e^{-\xi_yK_y-\xi_xK_x +\frac{\xi_y\xi_x}{2} S_z+ \frac{\xi_y\xi_x}{12}(\xi_y K_x + \xi_x K_y )+... } ~~.$$ На самом деле, $O(\xi^4)$член в показателе степени в этом частном случае обращается в нуль, а старший ненулевой равен $O(\xi^5)$, который вы могли бы легко вычислить.

Существует замкнутая форма для такого выражения SU (2) (или, лучше, формула композиции Гиббса ), то есть линейная комбинация трех образующих с коэффициентами всех порядков по ξ . Полное выражение является произведением наддува и вращения Вигнера,$\exp(\theta S_z)\exp(a K_y +b K_x)$, с$\tan \theta= (\sinh \xi_x \sinh \xi_y )/(\cosh \xi_x +\cosh \xi_y)$, и$a(\xi_y, \xi_x)$и$b(\xi_x, \xi_y)$запутанные параметры Гиббса, и составляет групповую идентичность SU(2). (Обратите внимание, что элементы упорядочения, объединенные, как указано выше, дают составной одиночный элемент, найденный выше, в этом порядке в ξ s,$\exp(\xi_x\xi_y S_Z/2+...) =\exp (\xi_y K_y/3 -\xi_x K_x/3+...)$, где запаздывающий новый композитный буст асимметричен по x и y , как и должно быть!)

Подводя итог, можно сказать, что объединение двух бустов по разным осям x и y дает преобразование Лоренца, которое является не просто бустингом, а$O(\xi)$сумма повышений, но и$O(\xi^2)$вращение, вращение Вигнера, лежащее в основе прецессии Томаса.

Вы также можете заметить, что если вы отмените эти два повышения в том же порядке, вы получите удвоенное вращение Вигнера в качестве ведущего,$O(\xi^2)$, остаток,

$$e^{-\xi_yK_y}e^{-\xi_xK_x} e^{\xi_yK_y}e^{\xi_xK_x} \\ = e^{ \xi_y\xi_x [K_y,K_x] + O(\xi^3) +... }= e^{ \xi_y\xi_x S_z + O(\xi^3) +... } ~~.$$ Это называется групповым коммутатором, логарифм которого является исправленным коммутатором алгебры Ли, двойным вращением Вигнера.