Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства

Я искал удовлетворительный ответ, чтобы доказать, что

г 3 п → 2 Е п →

где Е п → "=" + ( | п → | с ) 2 + ( м с 2 ) 2 , является лоренц-инвариантным. Стандартный ответ, по-видимому, состоит в том, что указанная выше мера равна

г 4 п дельта ( п 2 − м 2 ) θ ( п 0 )

где п 2 "=" п 0 2 − | п → | 2 , и θ ( Икс ) является ступенчатой ​​функцией. Я понимаю, что эти два эквивалентны, но я не понимаю, почему второй должен быть инвариантным по Лоренцу, в частности, почему дельта Дирака должна быть инвариантной по Лоренцу. Я нашел документ (раздел 2.1), который доказывает, что дельта ( 4 ) ( п − п ′ ) является инвариантом Лоренца, но я не могу найти способ успешно расширить их метод здесь. На самом деле все, что я могу получить, говорит мне, что приведенное выше не инвариантно по Лоренцу и что на самом деле оно должно преобразоваться в

г 3 п → ′ 2 γ Е п → ′

что имеет смысл из г 4 п быть инвариантом Лоренца и г п 0 преобразование, пропорциональное γ , но это не то, что говорят все остальные. В чем проблема?

Альтернативный способ «вывести» коэффициент 1 / γ :

дельта ( п 2 − м 2 ) θ ( п 0 ) "=" 1 Е п → дельта ( п 0 − Е п → )

Теперь, как г п 0 превращается в γ г п 0 , дельта ( п 0 − Е п → ) должен превратиться в γ − 1 дельта ( п 0 − Е п → ) , как можно показать с аргументом, аналогичным показанному в документе . Е п → также превращается в γ ( Е п → − в п Икс ) для Икс -boost, но это, похоже, не решает эту проблему.

Что ж, аргумент этой дельты Дирака довольно очевидно сам по себе является лоренц-инвариантным, не так ли?
Да, но этого недостаточно, чтобы показать, что это инвариант Лоренца. Способ преобразования дистрибутивов определяется здесь: mathworld.wolfram.com/GeneralizedFunction.html Но, проще говоря, вы должны показать это аналогично документу, на который я ссылаюсь.
Однако для линейного преобразования закон преобразования сводится к множителю абсолютного значения определителя. В одном измерении: дельта ( а Икс ) "=" | а | − 1 дельта ( Икс ) , то обобщение естественно а → дет А . Определитель преобразования Лоренца равен ± 1 .
Возможные дубликаты: physics.stackexchange.com/q/83260/2451 и ссылки там.

Ответы (2)

Я наткнулся на ответ во Введении Пескина в теорию квантового поля, где он рассматривает, как сделать инвариантной дельта-функцию с 3 импульсами, которая может удовлетворить вас. Посмотрите на повышение в п 3 направление, чтобы п 3 ′ "=" γ ( п 3 + β Е ) , Е ′ "=" γ ( Е + β п 3 ) .

дельта 3 ( п − д ) "=" дельта 3 ( п ′ − д ′ ) г п 3 ′ г п 3
"=" дельта 3 ( п ′ − д ′ ) γ ( 1 + β г Е г п 3 ) "=" дельта 3 ( п ′ − д ′ ) γ Е ( Е + β Е г Е г п 3 )
"=" дельта 3 ( п ′ − д ′ ) γ Е ( Е + β п 3 ) "=" дельта 3 ( п ′ − д ′ ) Е ′ Е .

Таким образом, для трехимпульсной дельта-функции количество Е дельта 3 ( п − д ) является лоренц-инвариантным. В сочетании с тем, что дельта 4 ( п − д ) инвариантно, заключаем 1 Е дельта ( п 0 − д 0 ) является инвариантным.

Спасибо, я думаю, что это решает! Я посмотрю на это более внимательно завтра и дам вам принятый ответ.
Кстати, для протокола: показанные вами производные должны быть частными производными. Это на самом деле то, что заставило меня получить неправильный результат.
Как в первом уравнении получить правую часть из левой? дельта 3 ( п − д ) ?

Любое преобразование Лоренца оставит п 2 не изменилась, следовательно, масса дираковской дельта останется на м 2 . Заметьте, что по физическим причинам обычно рассматривается только та компонента (полной) группы Лоренца, которая связана с единицей. Любое преобразование в этой собственной подгруппе оставляет знак п 0 (которая по спектральному условию предполагается строго положительной) инвариантной, поэтому функция Хевисайда также релятивистски инвариантна.

Доказательство лоренц-инвариантности лоренц-инвариантного элемента фазового пространства
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v