Античастицы, зарядовое сопряжение и хиральность

Честно говоря, я нахожу эту так называемую педагогическую статью совершенно непонятной и не понимаю, что хотел сказать автор об этих двух операциях. Я также не могу понять «вывод» 7.3, основанный на том, что киральная проекция является «числовой матрицей» и, следовательно, коммутирует с оператором зарядового сопряжения.

Еще замечание:

Делаются даже подробные заявления о том, что зарядовое сопряжение изменяет хиральность. В этом нет никакого смысла, и лучше всего это видно на полях Вейля, для которых хиральность совпадает со спиральностью. Спиральность включает в себя спин и импульс, ни один из которых не изменяется при зарядовом сопряжении. Таким образом, зарядовое сопряжение не влияет на спиральность, и поэтому должна быть хиральность.

тоже вводит в заблуждение. Верно то, что левый спинор Вейля соответствует левой спиральной частице. Но она описывает и античастицу с правой спиральностью (что автор и сам ранее замечает!) Например, мы долгое время не знали, что нейтрино имеет массу, и поэтому в принципе могли описать его одним спинором Вейля. Но помимо нейтрино левой спиральности тот же спинор описывает антинейтрино правой спиральности.

Вы не можете переопределить его, потому что спиральность соответствует определенному значению углового момента и, следовательно, наблюдаема.

Зарядовое сопряжение превращает частицу в античастицу с той же спиральностью. Вы не можете получить античастицу с левой спиралью из чисто левого спинора Вейля! Поэтому неудивительно, что зарядовое сопряжение превращает левосторонний спинор Вейля в правосторонний и наоборот.

Этот переворот также объясняет, почему член слабого взаимодействия$i\psi_L^\dagger\gamma^0\gamma_\mu W^\mu\psi_L$не является инвариантным относительно$\mathcal{C}$трансформировать. Пространственное отражение также изменяет хиральность и, таким образом, оказывается инвариантным относительно комбинированного$\mathcal{CP}$.

Для фермиона Дирака все прекрасно работает для прямого определения зарядового сопряжения, которое вы обозначаете как$\hat{\psi}$. В фоковском пространстве это приводит к$\mathcal{C}a_s^\dagger(p)\mathcal{C}^{-1}=b_s^\dagger(p)$где$a_s^\dagger$и$b_s^\dagger$являются операторами рождения частицы и античастицы соответственно со спиральностью$s$. Как и ожидалось, в безмассовом пределе$a_s^\dagger$и$b_s^\dagger$действуют на разные хиральные компоненты по отдельности, в то время как$a_s^\dagger$и$b_{-s}^\dagger$на том же. Итак, как я уже сказал, зарядовое сопряжение изменяет хиральность.

Он также отлично работает для майорановского фермиона, понимаемого как спинор Дирака с условием реальности.$\psi=\hat{\psi}$. Состояние реальности приводит к отождествлению$a_s^\dagger(p)=b_s^\dagger(p)$что в точности означает, что майорановская частица такая же, как античастица с той же спиральностью. Вы больше не можете говорить о хиральности даже в безмассовом случае, потому что вы связываете правую компоненту с левой по определению.

Подводя итог, я понятия не имею, что автор этой статьи пытался сказать. Все отлично работает для простого определения, которое используется всеми, и оно действительно меняет хиральность.

ОБНОВЛЯТЬ

Заметим, что ранее мы обсуждали только киральность полей, но не состояний.

Обычный способ получить спиральность = хиральность в безмассовом случае делается просто для уравнения Дирака. Оператор спиральности задается выражением$\frac{\vec{p}}{E}\cdot\vec{\sigma}$. Уравнение Вейля принимает вид

$$\begin{equation*} \vec{p}\cdot\vec{\sigma}\psi_{L,R}=\pm E\psi_{L,R} \end{equation*}$$ Разделив его на $E$получаем, что собственные состояния спиральности в точности совпадают с собственными состояниями киральности. Мы можем заключить, что оператор спиральности равен $\gamma_5$т.е. хиральность.

Любое решение, ограниченное левой компонентой, получит левую спиральность. Однако решения, связанные с античастицами, имеют отрицательную энергию. Они интерпретируются таким образом, что их физическая энергия, импульс и вращение (и, следовательно, спиральность) меняют знак. В КТП это достигается утверждением, что$\psi$содержит оператор уничтожения частицы и оператор рождения античастицы. Поскольку в случае фермионов операторы антикоммутируют, например, в спиновом операторе,

$$\begin{equation*} \hat{S}_k=\frac{1}{2}\int d^4x :\psi^\dagger \begin{pmatrix}\sigma_k&0\\0&\sigma_k\end{pmatrix} \psi: \end{equation*}$$ получаем, что вклад античастиц имеет правильный (т.е. противоположный наивному) знак.

Учитывая это, если мы определим оператор киральности как$\int d^4x :\psi^\dagger \gamma_5 \psi:$он будет совпадать с оператором спиральности и в КТП. Поэтому мы должны приписать античастице, описываемой левым спинором Вейля, правую киральность, и она не изменится при$\mathcal{C}$

В итоге. Хиральность полевого оператора меняется. Хиральность государства - нет.