Консервативная центральная сила и устойчивые орбиты

Не каждая центральная сила допускает круговую орбиту, поскольку только взаимодействие притяжения может уравновесить отталкивающий центробежный член. С другой стороны, каждая сила притяжения имеет круговую орбиту, поскольку при соответствующем выборе углового момента центробежный член,$L^2/2\mu r^2$, можно выбрать, чтобы отменить привлекательное взаимодействие,$U(r)$. Наконец, потенциал притяжения недостаточен для существования устойчивых орбит.

Круговая орбита радиуса$r_0$устойчиво тогда и только тогда, когда$U_{\mathrm{eff}}(r_0)$соответствует минимуму эффективного потенциала,

$$U_{\mathrm{eff}}(r)=\frac{L^2}{2\mu r^2}+U(r).$$ Отсюда следует, что вторая производная от $U_{\mathrm{eff}}$в $r_0$должен быть положительным. Следовательно, $$U''(r_0)>-\frac{3L^2}{\mu r_0^4}.\tag1$$

Для круговых орбит радиальная эффективная сила (которая включает в себя взаимодействие и центробежные силы) обращается в нуль, а затем$U_{\mathrm{eff}}(r_0)'=0$. Таким образом

$$r_0^3=\frac{L^2}{\mu U'(r_0)}.$$ Подставляя это в уравнение (1), мы получаем следующее условие $$\frac{U''(r_0)}{U'(r_0)}+\frac{3}{r_0}>0,$$ для устойчивых орбит. В качестве примера, предполагая потенциал притяжения со степенным законом $U=kr^{n}$, последнее уравнение дает нам, что он имеет устойчивые орбиты только для $n>-2$.

Стоит отметить, что существуют разные концепции устойчивости относительно орбитального движения. Предполагаемый здесь вариант, для которого справедлив приведенный выше результат, говорит, что круговая орбита устойчива, если она остается ограниченной при малых возмущениях (ограниченная орбита — это орбита, радиус которой ограничен$r_{\mathrm{min}}\leq r\leq r_{\mathrm{max}}$). Другое и также распространенное понятие — устойчивость по Ляпунову. В этом случае из всех степенных центральных сил только гармонический осциллятор дает устойчивые орбиты .

Это не будет строгим рассмотрением, но вы можете получить представление о том, что происходит, рассматривая эффективный потенциал вращающегося тела. Если рассматривать систему отсчета, вращающуюся вместе с телом, то в этой системе существует фиктивная центробежная сила, толкающая тело наружу, и связанная с этой силой потенциальная$L^2/2mr^2$куда$L$- (постоянный) угловой момент. Добавляя это к гравитационному потенциалу$U(r)$дает эффективный потенциал:

$$V_\text{eff} = \frac{L^2}{2mr^2} + U(r)$$

Если мы возьмем$U(r) = -k/r$тогда мы получаем эффективный потенциал, выглядящий примерно так:

Если это связанная орбита, этот потенциал всегда имеет минимум. Это происходит потому, что если орбитальный объект приближается к центральной массе, положительный$r^{-2}$доминирует и снова вытесняет его, а если объект перемещается на большие$r$отрицательный$r^{-1}$срок тянет его снова. Эффективная частица колеблется вокруг минимума эффективного потенциала, поэтому ее орбита всегда стабильна.

Проблема в том, что при разных гравитационных потенциалах мы не получаем этого стабильного минимума. Например, если$U(r) = -kr^{-2}$эффективный потенциал как раз$\pm Ar^{-2}$для некоторой константы$A$. Со знаком «плюс» потенциал всегда толкает вращающийся объект наружу до бесконечности, а со знаком «минус» потенциал тянет его внутрь, чтобы врезаться в центральное тело.

Перейти к$U(r) = -kr^{-3}$или любой$-kr^{-n}$за$n \ge 3$, и теперь мы получаем только максимум вроде:

Итак, опять же, любое возмущение отправляет вращающийся вокруг объекта объект наружу, в бесконечность, или внутрь, чтобы врезаться в объект.

Особенность$-kr^{-1}$потенциал заключается в том, что он падает медленнее с расстоянием, чем$r^{-2}$потенциал из-за фиктивной силы. Поэтому только она дает стабильную орбиту. Если вы допускаете неинтегральные силы, то любые$n \lt 2$также дает устойчивую орбиту, хотя мы обычно рассматриваем только целые значения$n$.