Константа интегрирования в равновесной теории приливов

Автор интегрирует по двум угловым координатам:

• $\phi$, азимутальный («долготный») угол, отсчитываемый от$0$к$2\pi$, и
• $\theta$, высотный («широтный») угол, отсчитываемый от$0$к$\pi$.

При интегрировании в неевклидовых координатах нужно помнить о умножении подынтегральной функции на якобиан преобразования из евклидовых координат в те, которые используются в подынтегральной функции. В этом случае подынтегральная функция находится в сферических координатах с фиксированным радиусом$R$, поэтому якобиан$R\sin{\theta}$. Это хорошо известный результат, вывод которого можно легко найти в другом месте. $R$, а коэффициент$2\pi$полученный в результате интегрирования в$\phi$-направление, предположительно отсутствуют потому, что, будучи константами, они были вынесены из интеграла и приведены в другую часть уравнения сохранения массы (из которого на момент публикации присутствует только половина).

Физический смысл этого является геометрическим: представьте, что вы интегрируете по площади поверхности сферы, используя полосы, параллельные линиям широты. Обратите внимание, что площадь этих полос уменьшается по мере приближения к полюсам. Фактор$\sin{\theta}$описывает отношение площади полосы на широте$\theta$в районе полосы на$\theta=\pi/2$.