Пропорциональное ускорение из-за изменения плотности Земли

Я не совсем уверен, как он получает значение$36.36$для этой константы, потому что это немного зависит от того, как именно он делает свои приближения и какие значения он принимает для разных констант. Но в основном это:

Для сферически-симметричного распределения масс, подобного рассматриваемому здесь, ускорение свободного падения просто определяется законом Ньютона для гравитационной силы:

$$a=\frac{-GM(<R)}{R^2}$$

Для массы, заключенной в радиусе$R$, что я пишу$M(<R)$, он предполагает постоянную плотность, поэтому масса - это просто объем сферы (радиуса$R$, что зависит от того, где вы находитесь) умножить на плотность:

$$M(<R) = \left(\frac{4}{3}\pi R^3\right)\sigma$$

Складываем два уравнения вместе,

$$a = -\frac{4}{3}G \pi R\sigma$$

Или сделать его похожим на его:

$$a = -\left(\frac{4G\pi\sigma R_\oplus}{3}\right)\frac{R}{R_\oplus}$$

Количество в скобках — это то, что он оценивает как 36,36 (это должно быть${\rm m}\,{\rm s}^{-2}$). Я не уверен, что он использует для$R_\oplus$; неясно, то ли это диаметр Земли (именно так он выглядит из уравнения), то ли диаметр Земли меньше$\Delta x=2.87\times10^6\,{\rm m}$, как это выглядит на схеме. Он также не упоминает, что он использует для плотности, но по одной диаграмме похоже, что это примерно$10^4\,{\rm kg}\,{\rm m}^{-3}$. Значение константы подозрительно; так как в$R=R_\oplus$падающий человек просто покидает часть пути с «постоянным ускорением», я ожидаю, что ускорение здесь будет$10\,{\rm m}\,{\rm s}^{-2}$, нет$36.36$...

Что касается того, откуда берутся тригонометрические уравнения, то это связано с точечной нотацией. Точка обычно указывает производную по времени, поэтому:

$$v=\dot{R}=\frac{{\rm d}}{{\rm d}t}R(t) \\ a = \ddot{R} = \frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}R(t)$$

Уравнение:

$$\frac{{\rm d}^2}{{\rm d}t^2}R(t) = -k^2R(t)$$

где$k$является константой является дифференциальным уравнением . Решением этого уравнения является функция$R(t)$такое, что равенство выполняется для всех значений$t$. Это, вероятно, самое известное из существующих дифференциальных уравнений, простое уравнение гармонического осциллятора . Вы можете проверить, что общее решение:

$$R(t)=A\sin(kt)+B\cos(kt)$$

решает уравнение, подставляя его в дифференциальное уравнение и оценивая производную. Вот откуда берется его уравнение, как только он выясняет, какие константы$A$,$B$и$k$должно быть. Я не буду вдаваться в подробности, так как решение простого уравнения гармонического осциллятора — настолько распространенное упражнение, что вы можете найти его практически в любой книге или в Интернете.

Я не уверен в выводе в этом видео, хотя это может быть правильно?

Я сомневаюсь в уравнении ускорения$a$для внутренней фазы движения, где$R$это расстояние от центра Земли, а радиус Земли$R_\oplus = 6.37 \times 10^6$м.

$$\ddot{R}(t) = a(t)=-36.36\dfrac{R}{ R_\oplus}$$

Во время фазы постоянного ускорения (внешней) движения пройденное расстояние равно$2.87 \times 10^6$m, поэтому внутреннее фазовое движение находится в следующих границах$3.5 \times 10^6 \le R \le 3.5 \times 10^6$м

положить$R = 3.5 \times 10^6$m в уравнение для ускорения на фазе внутреннего движения дает$-20$РС$^{-2}$не ожидаемый$-10$РС$^{-2}$.

Также выражение, данное в видео, не соответствует размеру.

$$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos\left( \sqrt{\dfrac{ R_\oplus}{36.36}}t\right) - 3.2 \times 10^6 \sin\left(\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{36.36}}t\right)$$

Скобки для функций косинуса и синуса должны быть$\left( \sqrt{\dfrac {36.36}{ R_\oplus }}t\right)$нет$\left( \sqrt{\dfrac{ R_\oplus}{36.36}}t\right)$

Выражение$t = \tan^{-1}(1.1)\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{36.36}} = 348\,{\rm s}$можно использовать для нахождения значения радиуса Земли, которое используется в видео.

Когда это сделано, это дает$R_\oplus = 6.35 \times 16^6$м, что соответствует принятому значению.

---

Возвращаясь к началу для однородной плотности Земли выражение для ускорения$a$как функцию расстояния от центра можно записать как$a = - \dfrac {9.8}{R_\oplus} R$которое имеет вид уравнения движения для шм$a = - \omega^2 R$где$\omega$есть постоянная движения.

С использованием$R_\oplus = 6.37 \times 10^6$м дает$\omega = 1.24\times 10^{-3}$с$^{-1}$.

Период этого движения$T = \dfrac {2 \pi}{\omega}$дает половину периода$2532$с$\approx 42$минут.

Для этого движения$R(t) = 6.37 \times 10^6 \cos \omega t = 6.37 \times 10^6 \cos \left( \sqrt{\dfrac {10}{ R_\oplus }}\; t\right)$.

Если выражение для$R(t)$дифференцируется один раз

$$v(t) = \dot R(t) = -6.37 \times 10^6 \omega\sin \omega t$$

тогда во время$t =0$скорость равна нулю, и если снова продифференцировать

$$a(t) = \ddot R(t) = -6.37 \times 10^6 \omega^2\cos\omega t$$

что показывает, что$R(t) = 6.37 \times 10^6 \cos \omega t$является решением уравнения$a = - \omega^2 R$.

---

Процедура для смешанного состава Земли состоит из двух частей, и это вторая часть, которую вы запросили.

Величина ускорения на расстоянии от центра$R_i = 3.5 \times 10^6$м дается как$10$РС$^{-2}$и изменяется линейно с расстоянием от центра Земли.

Уравнение движения для этой внутренней фазы имеет вид$a = -\dfrac {10}{R_i} R = -\dfrac {10}{R_\oplus}\dfrac{R_\oplus}{R_i} R = -\dfrac{18.2}{R_\oplus}R$тогда как это дается как$a = -\dfrac {36.36}{R_\oplus} R$в видео.

Для этого есть причина?

Это дает$\omega = \sqrt{\left(-\dfrac{18.2}{R_\oplus} \right )} = 1.69 \times 10^{-3}$с$^{-1}$.

$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos \omega t$является решением этого уравнения, но скорость при$t =0$равен нулю, что неверно.

Чтобы иметь скорость$-7580$РС$^{-1}$в начале дополнительный срок$-4.06\times 10^6 \sin\omega t$необходимо добавить, чтобы получить выражение

$$R(t) = 3.5 \times 10^6 \cos \left (\sqrt{\dfrac{18.2}{R_\oplus} }\; t \right) - 4.49\times 10^6 \sin \left (\sqrt{-\dfrac{18.2}{R_\oplus} }\; t \right)$$

Обратите внимание, что дополнительный синусоидальный член отрицателен в начале движения, из-за чего расстояние от центра Земли будет уменьшаться быстрее, чем если бы присутствовал только член косинуса.
Как и следовало ожидать, поскольку масса имеет начальную внутреннюю скорость, когда$t=0$.

Чтобы найти время, чтобы добраться до центра, сделайте$R(t) = 0$и это дает

$$t = \tan^{-1}\left (\dfrac{3.5}{4.49}\right )\sqrt{\dfrac{R_\oplus}{18.2}} = 392\,{\rm s}$$