Константы движения попарно взаимодействующей системы NNN-частиц

Упростим задачу и рассмотрим ситуацию, когда существует система$N$частиц, движущихся в трехмерном пространстве, описывается лагранжианом:

$$L = \frac 12 \sum ^N_{i=1}m_i\dot {\boldsymbol x}_i^2 - \frac 12 \sum _{i=1}^N \sum _{j=1}^N U_{ij}(\boldsymbol A \cdot (\boldsymbol x_i-\boldsymbol x_j))$$

в котором каждая пара$\left(i,j\right)$частиц допускается иметь различный потенциал взаимодействия$U_{ij}\left(a\right) = U_{ji}\left(a\right)$, и$A$— постоянный вектор, одинаковый для всех пар. По сути, я говорю, что частицы имеют только парное взаимодействие, которое зависит от их разделения вдоль направления вектора А.

Есть некоторые очевидные константы движения, например:

• Компонента импульса, ортогональная$\boldsymbol{A}$вектор каждой частицы, что дает$2N$константы движения
• Полный линейный импульс вдоль вектора A
• Общая энергия.

Однако мне сказали, что я могу найти$3N+2$константы движения из теоремы Нётер (или иначе). вот нашел только$2N+2$константы движения. Каковы другие константы движения?