Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

Question

Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

рсааведра

Обратная теорема Нётер утверждает, что должна существовать симметрия $\delta q^{i}$ учитывая сохраняющееся количество $C$ .

дельта д^{я} "=" ϵ {Вт}^{я Дж} \frac{\partial С}{\partial д^{Дж}},

$\delta q^{i}=\epsilon W^{ij}\frac{\partial C}{\partial q^{j}},$

где $\epsilon$ произвольная константа и $W^{ij}$ является гессианом лагранжиана.

В принципе можно догадаться $C$ чтобы получить $\delta q^{i}$ из этого уравнения, но обычно из лагранжиана известно, какое $C$ подходит для этого.

Мой вопрос: есть ли способ узнать, что не является сохраняющейся величиной для системы? Или способ заставить это уравнение потерпеть неудачу, учитывая $C$ ?

В частности, я работаю с лагранжианом:

л "=" \frac{м}{2} ({\dot{Икс}}^{2} + {\dot{у}}^{2} + {\dot{г}}^{2}) - В ({Икс}^{2} + у^{2} + г^{2}) - \frac{м}{2} [(\dot{Икс} у - \dot{у} Икс) ю^{2} + ю^{2} ({Икс}^{2} + у^{2})]

$L=\frac{m}{2}(\dot{x}^2+\dot{y}^2+\dot{z}^2)-V(x^{2}+y^{2}+z^{2})-\frac{m}{2}[(\dot{x}y-\dot{y}x)\omega^{2}+\omega^{2}(x^{2}+y^{2})]$

где $V$ является производной функцией.

Я обнаружил, что энергия $E$ дает определенную симметрию. Но я боюсь вставить угловой момент и обнаружить, что существует другая симметрия, и на самом деле боюсь, что все, что я вставлю в уравнение, даст больше симметрии ... Я думаю, что должно быть что-то, что говорит мне, что некоторые из этих на самом деле не являются симметриями.

тпаркер

Это не похоже ни на одну формулу теоремы Нётер, которую я когда-либо видел...

Боб Би

Похоже на осевую симметрию вокруг z. Можешь попробовать. Для меня не очевидно, симметрична ли точка xy-xdot, и мне, вероятно, нужно еще немного подумать. Попробуйте вращение вокруг z. Я посмотрю, есть ли какая-либо процедура, отличная от угадывания - и проще, попробовав симметрию, например, вращение вокруг одной оси, чем сохраняющуюся величину,

L_{z}

$L_z$

рсааведра

@tparker, мой учитель, назвал это «обратной теоремой Нётер» в том смысле, что вы можете получить симметрию из сохраняющейся величины ... (я тоже нигде не видел этого в Интернете)

Боб Би

Хорошо, если вы можете угадать C. Я просто думаю, что это сложнее, но вы можете попробовать

L_{z}

$L_z$ . Я не уверен, что это сработает, может быть, термин X dot y и т. Д. Для этого должен быть квадратным, не могу думать на ногах. Я думаю, что другие термины осесимметричны, но я могу ошибаться. Нужно попробовать.

Ответы (1)

Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

Это не похоже ни на одну формулу теоремы Нётер, которую я когда-либо видел...
Похоже на осевую симметрию вокруг z. Можешь попробовать. Для меня не очевидно, симметрична ли точка xy-xdot, и мне, вероятно, нужно еще немного подумать. Попробуйте вращение вокруг z. Я посмотрю, есть ли какая-либо процедура, отличная от угадывания - и проще, попробовав симметрию, например, вращение вокруг одной оси, чем сохраняющуюся величину, $L_z$
@tparker, мой учитель, назвал это «обратной теоремой Нётер» в том смысле, что вы можете получить симметрию из сохраняющейся величины ... (я тоже нигде не видел этого в Интернете)
Хорошо, если вы можете угадать C. Я просто думаю, что это сложнее, но вы можете попробовать $L_z$ . Я не уверен, что это сработает, может быть, термин X dot y и т. Д. Для этого должен быть квадратным, не могу думать на ногах. Я думаю, что другие термины осесимметричны, но я могу ошибаться. Нужно попробовать.

Qмеханик · Answer 1

Лучше всего/наиболее систематически обсуждать обратную теорему Нётер в контексте гамильтонова формализма (в отличие от лагранжевого формализма), ср. например , это и это сообщения Phys.SE, которые также предоставляют лагранжевы контрпримеры. Поэтому лагранжиан ОП вида

л "=" \frac{м}{2} ({\dot{д}}_{Икс}^{2} + {\dot{д}}_{у}^{2} + {\dot{д}}_{г}^{2}) + Б ({\dot{д}}_{у} д_{Икс} - {\dot{д}}_{Икс} д_{у}) - В (д)

$L~=~\frac{m}{2}(\dot{q}_x^2+\dot{q}_y^2+\dot{q}_z^2)+B(\dot{q}_yq_x-\dot{q}_xq_y)-V(q)$ желательно сначала преобразовать Лежандра в соответствующий гамильтониан

ЧАС "=" \frac{1}{2 м} ({(п_{Икс} + Б д_{у})}^{2} + {(п_{у} - Б д_{Икс})}^{2} + п_{г}^{2}) + В (д) .

$H~=~\frac{1}{2m}\left( \left(p_x +Bq_y \right)^2+\left(p_y -Bq_x \right)^2 +p_z^2 \right) + V(q).$

Тогда, как показано в утверждении 3 в моем ответе Phys.SE здесь , у нас есть обратная теорема Нётер: если $Q=Q(q,p,t)$ есть постоянная движения , то соответствующее гамильтоново векторное поле

- {Икс}_{Вопрос} "=" - {Вопрос, \cdot} "=" {\cdot, Вопрос}

$-X_Q~:=~ -\{Q,\cdot \} ~=~\{\cdot ,Q\}$ будет генерировать квазисимметрию действия в фазовом пространстве.

Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

рсааведра

тпаркер

Боб Би

рсааведра

Боб Би

Ответы (1)

Qмеханик

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Константы движения попарно взаимодействующей системы NNN-частиц

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка