Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Question

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Праздник позвоночника

Я не уверен, правильно ли я понимаю концепцию. Учитывая бесконечно малое преобразование

ф \to ф + α Δ ф

$\phi \rightarrow \phi + \alpha \Delta\phi$

изменение плотности лагранжиана $\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$ является

л \to л + α Δ л

$\mathcal{L} \rightarrow \mathcal{L} + \alpha \Delta\mathcal{L}$

Чтобы преобразование было симметрией, новый лагранжиан может отличаться только на четыре расходимости, так что

Δ л "=" \partial_{мю} {Дж}^{мю}

$\Delta\mathcal{L} = \partial_\mu J^\mu$

для некоторого четырехвектора $J^\mu$ .

Теперь у нас есть, используя уравнения EL, тождество

\partial_{мю} {Дж}^{мю} "=" \partial_{мю} (\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} Δ ф)

$\partial_\mu J^\mu = \partial_\mu\left( \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi\right)$

Отсюда, наконец, «сохраняющийся ток»:

{Дж}^{мю} \equiv {Дж}^{мю} - \frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} Δ ф

$j^\mu \equiv J^\mu-\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi$

Во всяком случае, я пытаюсь сделать расчет для конкретного примера лагранжиана $\mathcal{L} = \frac{1}{2} \partial_\mu \phi \partial^\mu \phi$ и трансформация $\phi \rightarrow \phi + \alpha$ для постоянного $\alpha$ .

Для этого, $\Delta\mathcal{L} = 0 = \partial_\mu J^\mu$ . Также $\Delta\phi = 1$ . Так

\frac{\partial л}{\partial (\partial_{мю} ф)} Δ ф "=" \partial^{мю} ф

$\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial(\partial_\mu\phi)}\Delta\phi = \partial^\mu \phi$

И

{Дж}^{мю} "=" {Дж}^{мю} - \partial^{мю} ф

$j^\mu = J^\mu - \partial^\mu \phi$

Пескин и Шредер говорят, что сохраняющийся ток равен $j^\mu = \partial^\mu \phi$ . Я полагаю, это потому, что он определен до 4-дивергенции. Итак, в этом случае $J^\mu$ может быть опущен, а также знак минус не имеет значения, поскольку он также определен с точностью до мультипликативной константы.

Пожалуйста, исправьте мое понимание этого. Что мне больше всего трудно понять, так это то, как разные объекты определяются «до» чего-то.

СлучайныйПреобразование Фурье

Как

Δ L = 0

$\Delta\mathcal L=0$ , у вас есть

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ . Поэтому,

j^{μ} \propto \partial^{μ} ϕ

$j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (вы установили

- 1

$-1$ константа пропорциональности, P&S к

+ 1

$+1$ : фактическое значение не имеет значения. Если

j^{μ}

$j^\mu$ сохраняется, так

{\tilde{j}}^{μ} = A j^{μ}

$\tilde j^\mu=A j^\mu$ для любого

A \in C

$A\in\mathbb C$ ). Вы нашли правильный ответ, но дело в том, что ответ не уникален! Вот почему ваши и P&S отличаются. (Обратите внимание, что

\partial_{μ} J^{μ} = 0

$\partial_\mu J^\mu=0$ не означает, что

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ , но

j^{μ}

$j^\mu$ определяется по модулю закрытого поля, вы можете установить

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ ВЛОГ).

Праздник позвоночника

Пожалуйста, уточните, что вы подразумеваете под «определенным по модулю замкнутого поля». Подозреваю, что в этом суть.

смягченный

Я бы рекомендовал сначала вывести теорему Нётер без

J^{μ}

$J^{\mu}$ и только потом понять, что если добавить дополнительный ток, то ничего особо не изменится.

СлучайныйПреобразование Фурье

@DepeHb Закрытое поле

f^{μ}

$f^\mu$ любое поле такое, что

\partial_{μ} f^{μ} = 0

$\partial_\mu f^\mu=0$ . Например,

j^{μ}

$j^\mu$ является закрытым полем. Если вы добавите два закрытых поля, результат также будет закрытым (

\partial_{μ} (f^{μ} + j^{μ}) = \partial_{μ} f^{μ} + \partial_{μ} j^{μ} = 0

$\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Это означает, что ток Нётер

j^{μ}

$j^\mu$ не уникален: если вы добавите любое закрытое поле в

j^{μ}

$j^\mu$ , результирующий ток также сохраняется и, следовательно, так же действителен, как и исходный ток. В вашем примере вы не знаете, что

J^{μ}

$J^\mu$ есть, но вы уверены, что он закрыт. Таким образом, вы можете установить

J^{μ} = 0

$J^\mu=0$ WLOG.

Праздник позвоночника

Что если есть комплексное скалярное поле? Существуют ли два сохраняющихся тока?

Ответы (1)

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Как $\Delta\mathcal L=0$ , у вас есть $J^\mu=0$ . Поэтому, $j^\mu\propto\partial^\mu\phi$ (вы установили $-1$ константа пропорциональности, P&S к $+1$ : фактическое значение не имеет значения. Если $j^\mu$ сохраняется, так $\tilde j^\mu=A j^\mu$ для любого $A\in\mathbb C$ ). Вы нашли правильный ответ, но дело в том, что ответ не уникален! Вот почему ваши и P&S отличаются. (Обратите внимание, что $\partial_\mu J^\mu=0$ не означает, что $J^\mu=0$ , но $j^\mu$ определяется по модулю закрытого поля, вы можете установить $J^\mu=0$ ВЛОГ).
Пожалуйста, уточните, что вы подразумеваете под «определенным по модулю замкнутого поля». Подозреваю, что в этом суть.
Я бы рекомендовал сначала вывести теорему Нётер без $J^{\mu}$ и только потом понять, что если добавить дополнительный ток, то ничего особо не изменится.
@DepeHb Закрытое поле $f^\mu$ любое поле такое, что $\partial_\mu f^\mu=0$ . Например, $j^\mu$ является закрытым полем. Если вы добавите два закрытых поля, результат также будет закрытым ( $\partial_\mu(f^\mu+j^\mu)=\partial_\mu f^\mu+\partial_\mu j^\mu=0$ ). Это означает, что ток Нётер $j^\mu$ не уникален: если вы добавите любое закрытое поле в $j^\mu$ , результирующий ток также сохраняется и, следовательно, так же действителен, как и исходный ток. В вашем примере вы не знаете, что $J^\mu$ есть, но вы уверены, что он закрыт. Таким образом, вы можете установить $J^\mu=0$ WLOG.
Что если есть комплексное скалярное поле? Существуют ли два сохраняющихся тока?

Брюс Ли · Answer 1

Для данного случая, поскольку $\partial _\mu J^{\mu} = 0$ , нет необходимости добавлять этот граничный член к сохраняющемуся току $j^{\mu}$ поскольку его добавление бессмысленно, поскольку оно не будет играть никакой роли, кроме как в сумме с бессмысленным фактором. Мы уже имеем для уравнения сохраняющегося тока $\partial_{\mu} j^{\mu} = 0$ и мы можем добавить любой термин $a^{\mu}$ к $j^{\mu}$ пока это удовлетворяет $\partial _{\mu} a^{\mu} = 0$ . Поэтому совершенно неважно иметь $J^{\mu}$ часть.

Что касается второй части вопроса, вы правы, говоря, что знак минус можно опустить, так как он определен с точностью до мультипликативной константы.

Сохраняющиеся токи из теоремы Нётер

Праздник позвоночника

СлучайныйПреобразование Фурье

Праздник позвоночника

смягченный

СлучайныйПреобразование Фурье

Праздник позвоночника

Ответы (1)

Брюс Ли

Константы движения попарно взаимодействующей системы NNN-частиц

Выбор сохраняющейся величины для получения симметрии с помощью обратной теоремы Нётер

Теорема Нётер: форма бесконечно малого преобразования

Следует ли сохранение вронскиана из принципа Нётер?

Можно ли интуитивно понять теорему Нётер?

Что означает параметр в теореме Нётер?

Имеет ли значение постоянный коэффициент в определении тока Нётер?

От теоремы Нётер к каноническому тензору энергии-импульса с использованием трансляций

Теорема Нётер для гамильтонианов и лагранжианов

Заряд Нётер для лагранжиана с производными высшего порядка