Координаты Крускала-Секереша и сингулярность

Ваше замешательство начинается, я полагаю, с вашего неправильного определения "диаграммы". Вы думаете, что это гомеоморфизм$\psi:U\rightarrow\mathbb{R}^n$где$U$является открытым подмножеством$\mathcal{M}$

Вместо этого правильное определение состоит в том, что это гомеоморфизм$\psi:U\rightarrow V$, где$U,V$являются открытыми подмножествами$\mathcal{M}$и$\mathbb{R}^n$, соответственно.

Большая разница!

Например$V$не обязательно должен быть гомеоморфным$\mathbb{R}^n$. Как следствие, у вас может быть многообразие$\mathcal{M}$- покрыты одной картой - которая не гомеоморфна$\mathbb{R}^n$. Пример: проколотый самолет$\mathbb{R}^2_O$($\mathbb{R}^2$без происхождения$O$), где один график$\psi:\mathbb{R}^2_O\rightarrow\mathbb{R}^2_O$это просто декартова система координат с$x,y\neq 0$и$\mathcal{M},U,V=\mathbb{R}^2_O$.

Второй момент, на который стоит обратить внимание, это то, что диаграмма KS {$T,X,\phi,\theta$} на самом деле не покрывает все многообразие Шварцшильда$\mathcal{M}$, по той простой причине, что угловая часть$\phi,\theta$не покрывает$S^2$полностью ($0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi$поэтому полюса и$\phi=0$меридиан не пройден). Теперь прямоугольник$0<\phi<2\pi,0<\theta<\pi$гомеоморфна$\mathbb{R}^2$(используя некоторое простое преобразование арктангенса), поэтому мы можем сказать, что на$S^2$есть диаграмма$\psi:U\rightarrow\mathbb{R}^2$где$U$является правильным открытым подмножеством$S^2$

Итак, у нас есть коллектор$\mathcal{M}$(максимальное расширение многообразия Шварцшильда) с картой$KS:U\rightarrow V$, где$U$является правильным открытым подмножеством$\mathcal{M}$и$V$является:

На самом деле 2 многообразия не гомеоморфны. У одного нет особенностей, у другого есть физическая особенность, т.е. тот, который не может быть устранен преобразованием координат. Лучшее, что вы можете сделать (с помощью KS), — это почти обернуть сингулярность красивой диаграммой, как вы это делаете в$\mathbb{R}^2$минус начало координат и положительная ось x, используя полярные координаты. Используя язык/методы алгебраической топологии, вы можете доказать, что$\pi _2$отличаются: вы не можете уменьшить замкнутую поверхность$S^2$вокруг сингулярности. Подробнее об этом можно прочитать здесь

Я полагаю, что фундаментальный недостаток ваших рассуждений заключается в том, что определение многообразия является более примитивным понятием, чем определение метрики, и именно метрика дает в общей теории относительности понятие кривизны. Самый ясный способ сказать, что это то, что$R^4$на самом деле не является плоским просто потому, что с ним автоматически не связана метрика; она не плоская и не изогнутая сама по себе, потому что она автоматически не вооружена достаточной структурой, чтобы определять эти вещи. Другими словами, тот факт, что существует гладкое отображение 1-1 между$R^4$а максимально расширенное решение Шварцшильда через координаты Крускала-Секереса просто констатирует тот факт, что решение Шварцшильда живет в 4-мерном пространстве-времени. Это никоим образом не требует, чтобы оно также обладало геометрией плоского пространства-времени, потому что$R^4$не является плоским, если вы не добавите к нему структуру пространства-времени Минковского, что само по себе является выбором.

Вы должны различать три уровня многообразной структуры:

• дифференциал$C^\infty$(гладкий)
• аффинная связь
• риманова (или полуриманова).

Диффеоморфизм принадлежит первому уровню. Кривизну можно определить в секунду (метрика не требуется). ОТО пространство-время принадлежит третьему (полуриманову). В (полу)римановом многообразии может быть определена аффинная связность, совместимая с метрикой: так называемая связность Леви-Чивиты.

Поэтому два многообразия могут быть диффеоморфными, даже если они различаются по кривизне, как Минковский и Шварцшильд. Существует более сильный морфизм между (полу)римановыми многообразиями: изометрия . Два (полу)римановых многообразия изометричны, если существует однозначное отображение, сохраняющее метрику.

Обратите внимание, что изометрия может быть сформулирована без использования координат: для этого требуется только, чтобы метрический тензор первого многообразия переходил в метрический тензор второго. Конечно, если два многообразия изометричны, используя соответствующие координаты в обоих компонентах метрических тензоров, они одинаковы.

Что касается Минковского и Шварцшильда, то они диффеоморфны, но не изометричны. Существование неполных геодезических в геометрии Шварцшильда, а не в геометрии Минковского, является непосредственным доказательством.