Симметрия пространственной волновой функции, не зависящая от MLMLM_L?

Симметрия не зависит от$M_L$. Самый простой способ увидеть это заключается в следующем. Начните с$\vert L,M_L\rangle$как состояние продукта.

Если это произведение только двух состояний, оно будет записано как

$$\vert L M_L\rangle = \sum_{m_1m_2}C_{\ell m_1;\ell m_2}^{LM_L} \vert \ell m_1\rangle \vert \ell m_2\rangle \tag{1}$$ где $C_{\ell m_1,\ell m_2}^{LM_L}$— коэффициент Клебша-Гордана. Перестановка частиц $1$и $2$, что аналогично перестановке $m_1$и $m_2$и вы получаете $$C_{\ell m_2;\ell m_1}^{L M_L}=(-1)^{2\ell-L} C_{\ell m_1;\ell m_2}^{L M_L}$$ показывая, что фаза $(-1)^{2\ell -L}$и, таким образом, характер симметрии не зависит от $M_L$.

Если у вас более двух частиц, работа немного усложняется. Начните с$\vert L,L\rangle$как состояние продукта, обобщающее (1) более чем на одну составляющую. Коэффициенты в линейных комбинациях уже не являются КГ, но пока это не имеет значения.

От государства$\vert L,M_L\rangle$вы достигаете состояния$\vert L,M_L-1\rangle$применением понижающего оператора

$$\hat L_-= \sum_i \hat L_{i,-}= \hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\hat L_{3,-}\ldots$$ Обратите внимание, что эта сумма симметрична относительно перестановки чисел частиц, так что, например: $$\begin{align} P_{12}\vert L,M_L-1\rangle &= P_{12}{\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1,-}+\hat L_{2,-}+\ldots \right)\vert L,M_L\rangle\, ,\\ &={\cal N}_{M_L}\left(\hat L_{1-}+\hat L_{2-}+\ldots\right)P_{12}\vert L,M_L\rangle \end{align}$$ где ${\cal N}_{M_L}$является нормировочной константой. Это показывает, что симметрия относительно перестановки $\vert L,M_L-1\rangle$это что из $\vert L,M_L\rangle$, и независимо от этого $M_L$.