Корреляции деформации сдвига по преобразованию Фурье смещения

Поскольку никто не ответил на это, я попробую. Скорее всего, вы уже разобрались с этим, но другие могут столкнуться с этим вопросом, поэтому он может быть полезен.

Я считаю, что ваши определения$C^\perp(\vec{q})$и$C^\parallel(\vec{q})$верны, и, надеюсь, я смогу пролить свет. Я думаю, что коллективный тензор среднеквадратичного смещения определяется

$$\mathbb{C} = \langle \vec{u}(\vec{q})^* \, \vec{u}(\vec{q}) \rangle$$ т.е. как диадический продукт, $2\times2$матрица (в 2D). Я опускаю аргумент(ы) времени для ясности. Кроме того, мы обычно используем шляпу или тильду для обозначения переменных, преобразованных Фурье, но я также опускаю это. Теперь для ненулевого $\vec{q}$, это не изотропный тензор, хотя материал (стекло) считается изотропным. Однако ясно (по симметрии), что в системе координат, основанной на единичных векторах $(\vec{e}_\parallel,\vec{e}_\perp)$, определенный так, что $\vec{q}=q\vec{e}_\parallel$, и $\vec{e}_\perp$перпендикулярно $\vec{q}$, тензор будет диагональным. Будет продольная составляющая $\vec{u}$, параллельно $\vec{q}$, и поперечная составляющая, перпендикулярная $\vec{q}$: $$\mathbb{C}' = \begin{pmatrix} \langle |u_\parallel(\vec{q})|^2 \rangle & 0 \\ 0 & \langle |u_\perp(\vec{q})|^2 \rangle \end{pmatrix} \equiv \begin{pmatrix} C^\parallel(\vec{q}) & 0 \\ 0 & C^\perp(\vec{q}) \end{pmatrix}$$ Вся физика заключается в этих двух функциях $C^\parallel(\vec{q})$и $C^\perp(\vec{q})$; перекрестного термина нет. Определения этих функций, данные здесь, такие же (я полагаю), что и те, которые вы взяли из статьи группы Баррата.

Различные коэффициенты в сложном выражении корреляции деформации, уравнение (10) в дополнительном материале к статье Иллинга, просто необходимы, чтобы повернуть матрицу назад от этой диагональной формы.$\mathbb{C}'$к пространственно-фиксированной форме$\mathbb{C}$, и использовать его для расчета желаемой величины, связанной с деформацией$C_{\varepsilon_{xy}\varepsilon_{xy}}$а не просто смещение. Фиксированный в пространстве$xy$система, конечно, произвольная, но фиксированная; в то время как вы будете рассматривать широкий спектр$\vec{q}$векторы. Косинус и синус угла поворота$\phi$между двумя системами координат просто связаны с компонентами единичного вектора, полученного из$\vec{q}$. Формула преобразования

$$\begin{pmatrix} u_x \\ u_y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\phi & -\sin\phi \\ \sin\phi & \cos\phi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_\parallel \\ u_\perp \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} q_x/q & -q_y/q \\ q_y/q & q_x/q \end{pmatrix} \begin{pmatrix} u_\parallel \\ u_\perp \end{pmatrix}$$ Деформация представляет собой симметризованный градиент смещения, поэтому соответствующий термин в пространстве Фурье равен (где $i=\sqrt{-1}$) $$\begin{align*} \varepsilon_{xy}(\vec{q}) &= \frac{1}{2}\left[ iq_x u_y(\vec{q}) + iq_y u_x(\vec{q})\right] \\ \langle |\varepsilon_{xy}|^2\rangle &= \frac{1}{4}\left[ q_x^2 \langle | u_y |^2\rangle + q_y^2 \langle | u_x |^2 \rangle + q_xq_y \langle u_x^* u_y\rangle + q_xq_y \langle u_y^* u_x\rangle \right] \end{align*}$$ Замена для $(u_x,u_y)$использование приведенной выше формулы вращения утомительно, но просто, и есть некоторое упрощение, поскольку все перекрестные члены исчезают: $$\begin{align*} C_{\varepsilon_{xy}\varepsilon_{xy}} = \langle |\varepsilon_{xy}|^2\rangle &= \frac{q_x^2q_y^2}{q^2} \langle | u_\parallel |^2 \rangle +\frac{q_x^4+q_y^4-2q_x^2q_y^2}{4q^2}\langle | u_\perp |^2\rangle \\ &= \frac{q_x^2q_y^2}{q^2} C^\parallel +\frac{q_x^4+q_y^4-2q_x^2q_y^2}{4q^2} C^\perp \end{align*}$$ Имея в виду, что $q_x^2+q_y^2=q^2$, это идентично формуле, о которой вы беспокоились.