Модель жесткой связи в магнитном поле

Гамильтониан определяется выражением

$$\begin{equation} H=\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ где $U\left(\mathbf{r}\right)$потенциальный ландшафт из-за кристаллической решетки. Теорема Блоха утверждает, что решение задачи $$\begin{equation} H\Psi_{\mathbf{k}}=E\left(\mathbf{k}\right)\Psi_{\mathbf{k}}, \end{equation}$$ следует искать в форме суммы Блоха $$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ где $N$- количество элементарных ячеек, а $\phi$являются атомными орбиталями, также известными как состояния Ванье. Соответствующие собственные значения $E\left(\mathbf{k}\right)$, которые образуют полосы в зависимости от импульса кристалла $\mathbf{k}$, получаются вычислением матричного элемента $\langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle$

$$\begin{equation} \frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)} \int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right) \end{equation}$$ и в конечном итоге зависят от интегралов прыжков, связанных с материалом $t_{12}=-\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_1}\right)H\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R_2}\right)$.

В присутствии магнитного поля гамильтониан меняется на

$$\begin{equation} H=\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right), \end{equation}$$ где $q$есть заряд частицы. Дополнительный член вносит сложности, и исходная сумма Блоха становится неадекватной. Оказывается, простое добавление фазового члена

$$\begin{equation} \Psi_{\mathbf{k}}=\frac{1}{\sqrt{N}}\sum_{\mathbf{R}}e^{i\left(\mathbf{k}\cdot\mathbf{R}+\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}\right)}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right), \end{equation}$$ где

$$\begin{equation} G_{\mathbf{R}}=\int_{\mathbf{R}}^{\mathbf{r}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}, \end{equation}$$ решает проблему. Элементы матрицы скачков теперь читаются

$$\begin{align} \langle\Psi_{\mathbf{k}}|H|\Psi_{\mathbf{k}}\rangle=&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}\int d\mathbf{r}e^{-i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}}}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]e^{i\frac{q}{\hbar}G_{\mathbf{R}^{\prime}}}\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\nonumber\\&\times\int d\mathbf{r}e^{i\frac{q}{\hbar}\Phi\left(\mathbf{r}\right)}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\left(\mathbf{p}-q\mathbf{A}+q\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}\right)^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right)\nonumber\\ =&\frac{1}{N}\sum_{\mathbf{R}\mathbf{R}^{\prime}}e^{i\mathbf{k}\left(\mathbf{R}^{\prime}-\mathbf{R}\right)}e^{i\frac{q}{\hbar}\int_{\mathbf{R}^{\prime}}^{\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}\int d\mathbf{r}\phi^*\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}\right)\left[\frac{\mathbf{p}^2}{2m}+U\left(\mathbf{r}\right)\right]\phi\left(\mathbf{r}-\mathbf{R}^{\prime}\right). \end{align}$$ Отношение $\nabla G_{\mathbf{R}^{\prime}}=\mathbf{A}$выполняется для условия сильной связи и в случае, когда магнитное поле инвариантно в масштабе кристаллической решетки . С другой стороны, поток $\Phi\left(\mathbf{r}\right)=\oint_{\mathbf{R}^{\prime}\rightarrow\mathbf{r}\rightarrow\mathbf{R}}\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}$больше, когда подынтегральная функция $\mathbf{r}$дальше от двух векторов $\mathbf{R}$и $\mathbf{R}^{\prime}$, где состояния Ванье атомных орбиталей фактически равны нулю, а поток обращается в нуль, когда интеграл перескока отличен от нуля. Имея в виду эти две вещи, можно объяснить переход от второй строки к третьей.

Теперь становится очевидным, что матричные элементы такие же, как и в случае без магнитного поля, за исключением взятого фазового фактора, который обозначается фазой Пайерлса. Это чрезвычайно удобно, поскольку тогда мы можем использовать одни и те же параметры материала независимо от значения магнитного поля, а учет соответствующей фазы с точки зрения вычислений является тривиальным. Для электронов это означает замену прыжкового члена$t_{ij}$с$t_{ij}e^{i\frac{e}{\hbar}\int_i^j\mathbf{A}\cdot d\mathbf{l}}$. Наконец, обратите внимание, что красивое и ясное объяснение этой фазы также можно найти в лекциях Фейнмана (том III, глава 21).