Как получить собственную систему для цепочки квантовых диполей?

Рассмотрим квантовый дипольный гамильтониан

ЧАС "=" ∑ я "=" 1 л п я 2 2 м я + 1 2 к я Икс я 2 + Λ 2 ∑ я , Дж "=" ⟨ н , н ⟩ 1 | Икс я − Икс Дж | 3 ,
где ⟨ н , н ⟩ обозначает ближайших соседей, т. е. дипольное взаимодействие берется только по паре ближайших соседей, а гамильтониан включает еще и гармонический потенциал.

Я не думаю, что есть аналитический способ получить собственные значения и собственные векторы вышеуказанного гамильтонина. Следовательно, что было бы лучшим числовым способом?

Простой способ - использовать энергетический базис гармонического осциллятора, который приведет к недиагональной квантово-дипольной гамильтоновой матрице, и диагонализировать ее с использованием стандартных процедур. Проблема с этим подходом заключается в том, что даже для точного получения первых нескольких уровней энергии и соответствующих собственных векторов усечение базиса для каждого гармонического осциллятора должно быть очень большим ~ 20 . Отсюда переход к большому л проблематична из-за резкого увеличения размерности гильбертова пространства, допуская только максимум л "=" 4 .

Другой подход с аналогичными проблемами мог бы заключаться в представлении гамильтонина в позиционном базисе.

Или есть какая-то другая альтернатива, на которую я не смотрел, которая упростит эту проблему и поможет выйти за рамки л "=" 4 ?

Утверждение, что размер матрицы гамильтониана не увеличивается с л в основе позиции просто неправильно. Если вам нужны полностью коррелированные собственные состояния системы многих тел по тому, что по сути является континуумом для основного базиса, то экспоненциальная стена в л реальна и неизбежна, что бы вы ни делали.

Ответы (1)

Короче: не совсем, нет. Квантово-механические задачи многих тел просто сложны, и если вам нужно полное решение, то проблема экспоненциально сложна в л ; вы могли бы немного отсрочить наступление трудностей, проявляя смекалку, но успехи в л будет ограничен.

«Умение разбираться в вещах» обычно сводится к выбору базы, которая хорошо подходит для рассматриваемой проблемы, и для вашей конфигурации базис гармонического осциллятора вряд ли будет одним из них, потому что базис не учитывает фактический гамильтониан задачи. Для этого вы можете (i) решить классическую задачу, чтобы получить классические положения равновесия, а затем (ii) выбрать набор смещенных числовых состояний в классических положениях равновесия (которые затем (iii) должны быть быть ортогонализированы, в идеале симметрично ), и использовать их в качестве основы. Или куча других возможных схем использования особенностей задачи для уменьшения размера базы.

В конечном счете, ваша проблема на самом деле не так уж отличается от проблемы с л различные электроны в атоме, подчиненные центральному потенциалу и взаимодействующие друг с другом, и это тоже, вообще говоря, экспоненциально трудная задача. Как нам быть с этим? Будучи очень радикальным в (нерелевантных) частях гильбертова пространства, которые мы вырезаем из вычислений, в двухэтапном подходе:

  • Во-первых, с помощью подхода самосогласованного поля для решения оптимального базиса одной частицы, обычно известного как метод Хартри-Фока . Здесь идея состоит в том, что вы решаете основное состояние, притворяясь, что все электроны одинаковы, поэтому вы начинаете с некоторого подходящего предположения для основного состояния, используете его для расчета потенциала среднего поля, решаете для основного состояния, верните это как потенциал среднего поля и повторяйте до тех пор, пока он (надеюсь) не сойдется, возможно, с последующим вариационным подходом, когда вы меняете любые соответствующие параметры, пока энергия не станет минимально возможной.

    Это даст вам базис Хартри-Фока, т. е. набор одночастичных орбиталей, включающих как можно больше диагональной, некоррелированной части межчастичного взаимодействия.

  • После этого вы берете кучу многочастичных конфигураций, используя одночастичные ВЧ-орбитали. Вы можете просто взять их все и получить что-то формально точное; это по-прежнему будет иметь экспоненциальную размерность, но улучшения базиса может быть достаточно, чтобы перейти к разумному количеству частиц.

    Однако если вы хотите серьезно отнестись к этому, вы обычно используете один из нескольких пост-Хартри-Фоковских методов , которые, по сути, пытаются вырезать конфигурации, которые не являются существенными для описания, расширяя при этом основу в направлениях, которые наиболее важны. хороший. Этот класс методов способен фиксировать некоторые вполне коррелированные собственные состояния для скромных вычислительных ресурсов, но для их правильной работы требуется много кода.

Однако, вообще говоря, проблема многих тел сложна, и хотя каждая ветвь КМ, где она появляется, имеет свои способы смягчения возникающей путаницы, все они просто ведут полиномиальную борьбу против экспоненциального масштабирования.

Как получить собственную систему для цепочки квантовых диполей?
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v