путаница в дискретном преобразовании для решения матричного уравнения Кронига Пенни в пространстве Фурье

Question

путаница в дискретном преобразовании для решения матричного уравнения Кронига Пенни в пространстве Фурье

Физика
атомная физика
конденсированное вещество
преобразование Фурье
квантовая механика
вычислительная физика

пользователь38579

у меня периодический потенциал

В (Икс) "=" \sum_{К} е^{я К Икс} В_{К} "=" \sum_{н} е^{я 2 π н Икс / а} В_{н}

$V(x) =\sum_{K}e^{iKx}V_{K} =\sum_{n}e^{\iota2\pi nx/a}V_{n}$ где

K = \frac{2 π n}{a}

$K =\frac{2\pi n}a$ - вектор обратной решетки и

a

$a$ - постоянная решетки и

n = \pm 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3...

$n =\pm 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3...$ скоро. Я хочу найти коэффициенты Фурье

V_{K} = V_{n}

$V_{K}=V_{n}$ соответствующий конкретному

K

$K$ или

n

$n$ . Предположим, у меня есть вектор для

V (x)

$V(x)$ имея 10000 баллов за

Икс "=" 0, 0,01 а, 0,02 а, . . . а, 1.01 а, . . . .2 а . . . 0,99 0,99 а

$x = 0,0.01a,0.02a,...a,1.01a,....2a....99.99a$ так что размер моей решетки

100 a

$100a$ . Сейчас

n

$n$ также пойдет от

- 50

$-50$ к

+ 49

$+49$ . Таким образом, я определил потенциал для 10000 точек на одномерной решетке из 100 атомов. БПФ на этом векторе дает 10000 коэффициентов Фурье. Согласно теории дискретного преобразования Фурье ( http://www.robots.ox.ac.uk/~sjrob/Teaching/SP/l7.pdf ),

K

$K$ значения, соответствующие этим коэффициентам Фурье, равны

\frac{2 π n}{(N X)}

$\frac{2\pi n}{(NX)}$ где

N

$N$ это нет. отсчетов = 10000, разделенных интервалом

X = 0.01 a

$X=0.01a$ с

n = 0, 1, 2, 3, . . .9999

$n=0,1,2,3,...9999$ .

Но я начал с $K$ который имел форму $K =\frac{2\pi n}a$ . Что мне не хватает? Как правильно найти коэффициенты Фурье $V_{K}$ численно с использованием DFT (можно использовать метод быстрого преобразования Фурье в Matlab)?

Справку по уравнению матрицы пространства Фурье Кронига-Пеннея можно найти здесь http://www.physics.buffalo.edu/phy410-505/topic5/index.html .

Ответы (1)

путаница в дискретном преобразовании для решения матричного уравнения Кронига Пенни в пространстве Фурье

Мусорный контейнерDoofus · Answer 1

Во-первых, несколько незначительный момент заключается в том, что $x = 0,0.01a,0.02a,...a,1.01a,....2a....100a$ на самом деле дает список из 10001 точки, а не 10000 точек. Я предполагаю, что вы действительно хотели сказать $x = 0,0.01a,...a,1.01a,....2a....99.99a$ .

Во-вторых, вы говорите, что

В (Икс) "=" \sum_{К} е^{я К Икс} В_{К}

$V(x)=\sum_{K}e^{iKx}V_{K}$ где

K = \frac{2 π n}{a}

$K =\frac{2\pi n}a$ и

n = 0, 1, 2, 3

$n=0,1,2,3$ , но это дает неэрмитов гамильтониан, поэтому вместо этого я предположу, что вы на самом деле хотели сказать

n = 0, \pm 1, \pm 2, \pm 3

$n=0,\pm1,\pm2,\pm3$ и где

V_{- K} = V_{K}^{*}

$V_{-K}=V_K^*$ .

Итак, самый простой способ интерпретировать ДПФ состоит в следующем. Обратите внимание, что $k$ запись (где $k=1,2,...,10000$ ) вектора $\mathbf{V}$ можно записать как

В [к] "=" \sum_{н "=" - 3}^{3} В_{н} е^{2 π я 100 н (к - 1) / 10000}

$\mathbf{V}[k]=\sum_{n=-3}^3V_ne^{2\pi i 100 n (k-1)/10000}$ где я специально не отменял фактор

100 / 10000

$100/10000$ чтобы сделать форму частотной области коэффициентов ясной. Отсюда видно, что каждый коэффициент

V_{n}

$V_n$ можно определить из ДПФ как

В_{н} "=" \sqrt{\frac{1}{10000}} ДПФ (В) [100 н + 1 мод 10000]

$V_n=\sqrt{\frac{1}{10000}}\text{DFT}(\mathbf{V})[100n+1\text{ mod }10000]$ где

DFT (V)

$\text{DFT}(\mathbf{V})$ является унитарным БПФ

V

$\mathbf{V}$ .

В качестве числового примера в Mathematica:

V0 = 10;
V1 = 2 + I;
V2 = 3 + 2 I;
V3 = 4;
Vm1 = 2 - I;
Vm2 = 3 - 2 I;
Vm3 = 4;
V = Chop@Table[
    Exp[I 2 \[Pi] 1/a x] V1 + Exp[I 2 \[Pi] 2/a x] V2 + 
     Exp[I 2 \[Pi] 3/a x] V3 + Exp[-I 2 \[Pi] 1/a x] Vm1 + 
     Exp[-I 2 \[Pi] 2/a x] Vm2 + Exp[-I 2 \[Pi] 3/a x] Vm3 + V0, {x, 
     0, 99.99 a, 0.01 a}];
DFTV = InverseFourier[V];

Вот первая элементарная ячейка:

ListLinePlot[V[[1 ;; 100]]]

введите описание изображения здесь

Вот ДПФ:

ListLinePlot[Abs[DFTV], PlotRange -> All, Frame -> True, 
Axes -> False]

введите описание изображения здесь

А вот коэффициенты, возвращенные из ДПФ:

Chop@Table[1/Sqrt[10000] DFTV[[Mod[100 n + 1, 10000]]], {n, -3, 3}]

(*Out: {4., 3. - 2. I, 2. - 1. I, 10., 2. + 1. I, 3. + 2. I, 4.} *)

Вы можете сами убедиться, что все остальные коэффициенты ДПФ равны нулю с точностью до машины. Небольшое примечание: я использовал InverseFourier, а не Fourierпотому, что определение Mathematica Fourierи InverseFourierпоменялось местами по сравнению с тем, как люди обычно определяют преобразования Фурье.

эй, спасибо, что упомянули и приняли исправления, которые следует внести в вопрос. Я не понимаю, почему n изменяется от -4 до +4.
@ user38579: Извините, опечатка, должно быть от -3 до 3, как вы сформулировали в своем вопросе, я отредактировал свой ответ, чтобы исправить это.
Я понимаю, что было моей ошибкой не поставить точки перед 3. До выбора конечной решетки это была бесконечная сумма. После выбора конечной решетки из 100 атомов она изменится от -50 до +49, верно? спасибо за ваш ответ, я принял его.

путаница в дискретном преобразовании для решения матричного уравнения Кронига Пенни в пространстве Фурье

пользователь38579

Ответы (1)

Мусорный контейнерDoofus

пользователь38579

Мусорный контейнерDoofus

пользователь38579

Локализация 4f4f4f в редкоземельных и 3d3d3d электронов в переходных металлах

Уравнение Дирака против релятивистского гамильтониана

Корреляции деформации сдвига по преобразованию Фурье смещения

Как получить собственную систему для цепочки квантовых диполей?

Учет статических смещений атомов в расчетах электронной структуры

Понимание межатомного потенциала между водородом

Почему атомы Не-3 отталкиваются друг от друга гораздо сильнее, чем электроны?

БПФ с разделенным шагом: свободное развитие волны приводит к ее распространению

Вычислительное масштабирование квантовых и классических алгоритмов Монте-Карло

Могу ли я использовать мнимое распространение во времени для задач многих тел?