Корреляционные функции и связь с тождествами подопечных

Question

Корреляционные функции и связь с тождествами подопечных

Физика
личность подопечного
квантовая теория поля
корреляционные функции
конформная теория поля

КАФ

У меня есть следующее определение общей корреляционной функции

⟨ Φ ({Икс}_{1}) \dots Φ ({Икс}_{н}) ⟩ "=" \frac{1}{Z} \int [г Φ] Φ ({Икс}_{1}) \dots Φ ({Икс}_{н}) е^{- С [Φ]}

$\langle \Phi(x_1)\dots \Phi(x_n)\rangle = \frac{1}{Z} \int [d\Phi] \Phi(x_1)\dots\Phi(x_n)e^{-S[\Phi]}$ Я только начал изучать эти функции, поэтому может ли кто-нибудь объяснить, что на самом деле означает это уравнение? Я вижу, что части напоминают то, что вы найдете в статистической механике, например

Z

$Z$ обозначая статистическую сумму и

\exp (- S [Φ])

$\exp(-S[\Phi])$ обозначая весовую функцию или фактор Больцмана, и я думаю

[d Φ]

$[d\Phi]$ обозначает меру интегрирования по набору или семейству полей, поэтому обозначение в квадратных скобках подчеркивает это, а не интегрирование по точкам. Но я не могу понять смысл всех частей вместе.

Другой мой вопрос связан с выводом из книги Ди Франческо «Конформная теория поля», стр. 43. Он определяет количество

⟨ Икс ⟩ "=" \frac{1}{Z} \int [г Φ^{'}] (Икс + дельта Икс) е^{- С [Φ] - \int г Икс \partial_{мю} {Дж}_{а}^{мю} ю_{а} (Икс)},

$\langle X \rangle = \frac{1}{Z} \int [d\Phi'] (X + \delta X) e^{-S[\Phi] - \int d x \partial_{\mu}j^{\mu}_a \omega_a(x)},$ где

X

$X$ представляет собой набор полей и

δ X

$\delta X$ является его изменением при преобразовании. Затем он расширяет этот результат до первого порядка в

ω (x)

$\omega(x)$ чтобы получить

⟨ дельта Икс ⟩ "=" \int г Икс \partial_{мю} ⟨ {Дж}_{а}^{мю} (Икс) Икс ⟩ ю_{а} (Икс)

$\langle \delta X \rangle = \int d x \partial_{\mu}\langle j^{\mu}_a(x)X\rangle\omega_a(x)$ а затем идентифицирует

дельта Икс "=" - я \sum_{я "=" 1}^{н} (Φ ({Икс}_{1}) \dots г_{а} Φ ({Икс}_{я}) \dots Φ ({Икс}_{н})) ю_{а} ({Икс}_{я})

$\delta X = -i\sum_{i=1}^{n} (\Phi(x_1)\dots G_a \Phi(x_i)\dots \Phi(x_n))\omega_a (x_i)$ но я не уверен, как он получил эти два уравнения.

Любая помощь будет здорово, большое спасибо.

Ответы (1)

Корреляционные функции и связь с тождествами подопечных

Любопытный Разум · Answer 1

Для любой (локальной) наблюдаемой $\mathcal{O}$ , его ожидаемое значение определяется как

⟨ О ⟩ "=" \frac{1}{Z} \int Д Φ О е^{- С_{Е} [Φ]}

$\langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{Z}\int \mathcal{D}\Phi\mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]}$

где

Z "=" \int Д Φ е^{- С_{Е} [Φ]}

$Z = \int \mathcal{D}\Phi\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]}$

действительно называется статистической суммой . Мое письмо $S_E$ предназначен для того, чтобы показать, что это справедливо для евклидовой теории (т. е. теории на римановом многообразии), для теории Минковского (т. е. теории на лоренцевом многообразии) нужно было бы добавить некоторые $\mathrm{i}$ вращением Вика . я использовал $\mathcal{D}\Phi$ вместо $[\mathrm{d}\Phi]$ для обозначения меры на пространстве полевых конфигураций широко используются оба обозначения. Важно отметить, что в большинстве случаев эта мера не может быть построена строго и определяется лишь в некоторой процедуре регуляризации, но наивно можно думать о ней как о каком-то интегрировании по пространству всех возможных конфигураций полей $\Phi : \Sigma \rightarrow \mathbb{R}$ , если $\Sigma$ это ваше пространственно-временное многообразие.

Итак, ваша интуиция по этому поводу в основном верна - $\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]}$ действительно является больцмановским весовым коэффициентом, который в случае КТП взвешивает различные конфигурации поля $\Phi$ . Очевидно, что этот коэффициент будет максимальным при минимальном $S_E[\Phi]$ , поэтому классически реализованная конфигурация поля $\Phi_0$ для которого $S_E[\Phi_0]$ — минимум действия, вносящий наибольший вклад в этот интеграл. Ожидаемое значение наблюдаемого действительно определяется как точный аналог классической статистической механики.

Вы пишете что-то о преобразовании, и из контекста тождеств Уорда я предполагаю, что вы говорите о калибровочном преобразовании, которое должно быть симметрией теории. В явном виде преобразование инфинитезимально задается выражением

\begin{matrix} (1) & Φ \mapsto (1 + я ю_{а} (Икс) Т^{а}) Φ \equiv Φ^{'} \end{matrix}

$\Phi \mapsto (1 + \mathrm{i}\omega_a(x)T^a)\Phi \equiv \Phi' \tag{1}$

где $T^a$ являются образующими группы симметрии. Симметричность теории означает, что никакая наблюдаемая не может изменить свое значение при преобразовании. Обозначим величины после преобразования штрихами. Глядя на некоторые наблюдаемые $\mathcal{O}$ (твой $X$ ), мы должны иметь это

⟨ О ⟩ "=" \frac{1}{Z} \int Д Φ О е^{- С_{Е} [Φ]} \overset{!}{"="} \frac{1}{Z^{'}} \int Д Φ^{'} (О + дельта О) е^{- С_{Е} [Φ] - \int г^{г} Икс \partial_{мю} {Дж}_{а}^{мю} ю_{а} (Икс)}

$\langle \mathcal{O} \rangle = \frac{1}{Z}\int \mathcal{D}\Phi\mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]} \overset{!}{=} \frac{1}{Z'}\int \mathcal{D}\Phi' (\mathcal{O} + \delta\mathcal{O})\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]-\int\mathrm{d}^d x \partial_\mu j^\mu_a \omega_a(x)}$

Предположим теперь, что наша симметрия неаномальна, т.е. $\mathcal{D}\Phi' = \mathcal{D}\Phi$ . Тогда для выполнения равенства имеем:

\int Д Φ О е^{- С_{Е} [Φ]} \overset{!}{"="} \int Д Φ (О + дельта О) е^{- С_{Е} [Φ] - \int г^{г} Икс \partial_{мю} {Дж}_{а}^{мю} ю_{а} (Икс)}

$\int \mathcal{D}\Phi\mathcal{O}\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]} \overset{!}{=} \int \mathcal{D}\Phi (\mathcal{O} + \delta\mathcal{O})\mathrm{e}^{-S_E[\Phi]-\int\mathrm{d}^d x \partial_\mu j^\mu_a \omega_a(x)}$

Если теперь развернуть $\mathrm{e}^{-\int\mathrm{d}^d x \partial_\mu j^\mu_a \omega_a(x)}$ на первый заказ в $\omega_a$ , ты получишь $\langle \mathcal{O} \rangle$ в обеих частях уравнения, которое сокращается, а оставшиеся члены — это в точности тождества Уорда, т. е. первое уравнение, о котором вы спрашивали.

Второе уравнение следует из явного преобразования на $\mathcal{O}$ : (Предполагая, как вы сказали, что $G_a$ генераторы $T^a$ преобразования): Посмотрите еще раз на $(1)$ . Поскольку вы сказали, что $\mathcal{O}$ это набор полей, это

О "=" \prod_{я "=" 1}^{н} Φ ({Икс}_{я})

$\mathcal{O} = \prod_{i=1}^n \Phi(x_i)$

для некоторых $n$ . Теперь выполните $(1)$ на каждом поле $\Phi$ и оставить только члены не выше первого порядка в $\omega_a$ . Это точно твой $\delta \mathcal{O}$ .

(Это «точно», поскольку мы все равно рассматриваем бесконечно малое калибровочное преобразование. В теории Ли есть строгие основания для такого «отбрасывания» членов более высокого порядка. , так как полученный ответ правильный.)

Привет, ACuriousMind, после расширения у меня осталось $⟨ дельта Икс ⟩ "=" \int г^{г} Икс (\partial_{мю} {Дж}_{а}^{мю}) ю_{а} (Икс) \cdot \frac{1}{Z} \int [г Φ] (Икс + дельта Икс) е^{- С [Φ]}$ $\langle \delta X \rangle = \int d^d x (\partial_{\mu}j^{\mu}_a) \omega_a(x) \cdot \frac{1}{Z}\int [d\Phi](X+\delta X)e^{-S[\Phi]}$ но я не вижу, как из этого следует результат. Кроме того, в моих обозначениях это выглядит как мой $G_a \rightarrow T_a$ в твоем. Спасибо.
@CAF Переместить $\partial_\mu j_a^\mu$ в $\Phi$ интеграл, это непосредственно даст $\partial_\mu \langle j_a^\mu (X + \delta X) \rangle$ . И $\delta X$ можно выбросить, так как $\omega_a \delta X$ является вторым порядком в $\omega_a$ (изменение $\delta X$ при преобразовании должен иметь как минимум 1-й порядок в параметре преобразования).
Спасибо, но не стал бы писать что-то вроде $\partial_{\mu} \langle j^{\mu}_a X \rangle$ предположить, что партиал действует на все в скобках $\langle \dots \rangle$ ?
@CAF: Ах, вечная борьба с обозначениями. Да и нет. $\partial_\mu$ действует ровно на один $x_i$ координата - и вот она $j_a^\mu$ зависит от, поэтому $X$ остается нетронутым ею. Я согласен, что это странный способ написать это, но так принято. (кстати, дайте мне также знать, удовлетворяет ли вас способ получения вашего второго уравнения, который я указал в своем обновленном ответе)
Ясно, так что напиши это более явно $\partial_{\mu}\langle j^{\mu}_a X\rangle = \partial_{\mu}\langle j^{\mu}_a \Phi(x_1)\dots \Phi(x_n)\rangle$ и все $\Phi(x_i)$ не затронуты $\partial_{\mu}$ ? Прежде чем я пойму ваш обновленный ответ, что означает количество $\langle \Phi(x_1)\dots \Phi(x_n) \rangle$ представлять? Пока я читал, мы перемножаем значение поля в разных позициях. $x_i$ определяется на некотором базовом многообразии, а затем усредняется от этой величины по некоторой области, содержащей все точки $x_i$ ?
@CAF: для обсуждения моего взгляда на значение n-точечных функций см. этот ответ.
Я понял остальную часть вашего аргумента, но большая часть того, что было в другом ответе, на который вы ссылаетесь, в тот момент была вне меня. Но все равно спасибо. Что значит сказать, что два квазипервичных поля коррелированы? А если коррелятор $\langle \Phi_1(x_1)\Phi_2(x_2)\rangle$ исчезает, мы говорим, что поля не коррелированы?
@CAF: то, что я обсуждал здесь (и в другом ответе), является общим материалом QFT, а не специфичным для CFT, который я хорошо знаю только в двух измерениях. Но в целом двухточечная функция (коррелятор двух полей) дает вам меру вероятности того, что состояние, созданное одним полем в $x_1$ станет государством в $x_2$ созданный другим. Поскольку у нас есть соответствие поля состояний в CFT, двухточечная функция в основном является скалярным произведением в пространстве состояний.
Вы хотите сказать, что коррелятор является мерой поля 1 в некоторой позиции x_1, принимающей значение поля 2 в позиции x_2, когда выполняется преобразование? Таким образом, исчезающий коррелятор будет означать, что вероятность того, что это произойдет, равна нулю. Спасибо
Вы уловили мой последний комментарий выше?
@CAF: это не имеет ничего общего с трансформацией. Двухточечную функцию часто называют пропагатором , потому что она сообщает вам вероятность (я думаю, амплитуду) того, что состояние в точке $x_1$ (не забываем, что это пространственно- временные положения) перейдет в состояние в $x_2$ . (Это не совсем правильно, так как поля не всегда являются точными операторами создания, нужно сделать полную дедукцию LSZ, чтобы увидеть происхождение этой интерпретации) Исчезающий коррелятор означает, что состояние в $x_1$ не может перейти в состояние при $x_2$ , что должно иметь место для пространственноподобных расстояний.
Ах, так вы имеете в виду, что это мера, которую государство в $x_1$ становится государством в $x_2$ эволюцией полей во времени? Я просто пытаюсь понять, что повлечет за собой изменение, поэтому изначально я думал, что это будет трансформация. Большое спасибо.
@CAF: Да, это то, что я пытался сказать. Я не знаю, обсуждает ли Франческо формализм LSZ в КТП, но если нет, вам следует (рано или поздно) обязательно найти книгу, в которой он это делает!
Привет, ACuriousMind, не могли бы вы взглянуть на мою другую тему в том же духе, что и эта? физика.stackexchange.com/questions/126837/…

Корреляционные функции и связь с тождествами подопечных

КАФ

Ответы (1)

Любопытный Разум

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

Любопытный Разум

КАФ

Почему корреляционная функция тензора энергии-импульса обращается в нуль подобно z−4z−4z^{-4} в двумерной КТП?

Бесследовость тензора энергии-импульса в d=2d=2d=2

Амплитуды 2-точечной струнной сферы

Коррелятор тензора энергии-импульса и ОПЭ

Построение идентичности Уорда, связанной с законсервированными течениями

Как определить длину корреляции, когда корреляционная функция затухает по степенному закону?

Почему я могу заменить калибровочное поле AμAμA^{\mu} текущим jμjμj^{\mu}, с которым оно связано при вычислении функции Грина?

Вывод конформного ОРЕ в D>2

Различия и отношения между КТП, определенными на комплексной плоскости, и КТП, определенными на торе?

Большой предел ccc и связанные корреляционные функции в 2d2d2d QFT