Ковариантная производная ковариантной производной

Я пытаюсь найти ковариантную производную ковариантной производной, т.е. ∇ а ( ∇ б В с ) .

Это то, что я часто считал само собой разумеющимся в расчетах, а именно я думал, что по правилу Лейбница мы просто имеем:

∇ а ( ∇ б В с ) "=" ∂ а ( ∇ б В с ) − Г а б г ∇ с В г − Г а с г ∇ г В с

Однако, когда мы доказываем, что ковариантная производная a ( 0 , 2 ) тензор выше, мы используем тот факт, что ковариантная производная удовлетворяет правилу Лейбница на ( 0 , 1 ) тензоры: ∇ а ( ж б в с ) "=" в с ∇ а ( ж б ) + ж б ∇ а ( в с ) . Однако ∇ а сам по себе не является тензором, так как же мы можем получить приведенную выше формулу для его ковариантной производной?

∇ б В с это тензор, назовите его А б с . Тогда как ты находишь ∇ а А б с ?
Используя правило Лейбница? Что для доказательства нам нужно было использовать тот факт, что А б с распадается на (0,1) тензоры.
Почему это проблема?
Хорошо А б с не распадается на два (0,1) тензора, потому что ∇ б это не тензор? Я вполне могу быть очень глупым и что-то упустить здесь!
@Wooster Вам не нужно разделяться А б с на два ( 0 , 1 ) тензоры. Подсказка: что такое ∇ а ( В б А б с ) для некоторого произвольного вектора В б ?
∇ В расщепляется как ∑ я Дж В я ; Дж ∂ я ⊗ г Икс Дж .

Ответы (2)

Термин ∇ б В с представляет собой (0,2) тензор, записываемый в нотации абстрактного индекса, при записи в полной базисной форме он читается

∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс с ,
Сейчас статус ∇ б В с это компоненты, это скалярная функция , а г Икс б ⊗ г Икс с является базисом (0,2)-тензора.

Тогда двойная ковариантная производная имеет вид

∇ ( ∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс с ) ,
где
∇ б В с ≡ ∂ б В с − Г б д с В д .
На этом этапе необходимо правило Лейбница.
∇ ( ∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс с ) "=" ∇ ( ∇ б В с ) г Икс б ⊗ г Икс с + ∇ б В с ∇ ( г Икс б ) ⊗ г Икс с + ∇ б В с г Икс б ⊗ ∇ ( г Икс с ) , "=" ∇ м ( ∇ б В с ⏞ а с с а л а р ) г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с + ∇ б В с × ( − Г б н г Икс н ) ⊗ г Икс с + ∇ б В с г Икс б ⊗ × ( − Г с п г Икс п ) , "=" ∇ м ( ∇ б В с ⏞ а с с а л а р ) г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с − Г б н ∇ б В с г Икс н ⊗ г Икс с − Г с п ∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс п , "=" ∂ м ( ∇ б В с ⏞ а с с а л а р ) г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с − Г р б н г Икс р ⊗ ∇ б В с г Икс н ⊗ г Икс с − Г с с п г Икс с ⊗ ∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс п , "=" ∂ м ( ∇ б В с ) г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с − Г р б н ∇ б В с г Икс р ⊗ г Икс н ⊗ г Икс с − Г с с п ∇ б В с г Икс с ⊗ г Икс б ⊗ г Икс п , "=" [ ∂ м ( ∇ б В с ) − Г м г б ∇ г В с − Г м е с ∇ б В е ] г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с .
Затем мы определяем
∇ ( ∇ б В с г Икс б ⊗ г Икс с ) "=" ∇ м ∇ б В с г Икс м ⊗ г Икс б ⊗ г Икс с
Наконец, в абстрактной нотации индекса мы имеем
∇ м ∇ б В с ≡ ∂ м ( ∇ б В с ) − Г м г б ∇ г В с − Г м е с ∇ б В е

Простой способ Позвольте мне сначала рассказать о прямом способе выполнения этого вычисления.

⟨ ∇ а ∇ б В , ∂ с ⟩ "=" ∂ а ⟨ ∇ б В , ∂ с ⟩ − ⟨ ∇ а В , ∇ а ∂ с ⟩ "=" ∂ а ( ∇ б В ) с − ( ∇ б В ) г Г а с г

Первое равенство следует из совместимости, второе равенство использует определение символов Леви-Чивиты.

Трудный путь Вы предлагаете окольный способ сделать это, который формализует следующее:

∇ а ∇ б В "=" ∇ а [   ( ∇ с В ⊗ г Икс с ) [ ∂ б ]   ] "=" ∇ а [   С ( ∇ с В ⊗ г Икс с ⊗ ∂ б )   ] "=" С [ ∇ а ( ∇ с В ⊗ г Икс с ⊗ ∂ б ) ]

где

С : Т п М ⊗ Т п М ⊗ Т п * М → Т п М ,     ж ⊗ г ⊗ В → г [ В ] ж

является картой сжатия последних двух аргументов. Ковариантная производная на тензорах смешанного типа коммутирует со сжатиями (используется в последнем равенстве). Обратите внимание на выражение внутри С [ ⋯ ] является ковариантной производной смешанного тензора, которую вы можете вычислить с помощью правила Лейбнайца и использовать ваши любимые покомпонентные формулы.

Ковариантная производная ковариантной производной
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v