Внешние и ковариантные производные

Гарантируется ли следующее утверждение для любого ковариантного вектора ф мю (1-форма ф ) при отсутствии кручения?

∇ [ α ∇ β ф мю ] "=" ∂ [ α ∂ β ф мю ] "=" г г ф "=" 0 ,
где ∇ α - ковариантная производная, ∂ β является частной производной, и г — внешняя производная, а скобки в нижнем индексе означают антисимметризацию.

∂ [ α ∂ β ф мю ] "=" г г ф это просто определение г и есть везде в учебниках, и то что она нулевая тоже везде. Итак, мой настоящий вопрос:

Всегда ли верно следующее?

∇ [ α ∇ β ф мю ] "=" ∂ [ α ∂ β ф мю ]

↑ Да.
Вы можете это доказать! Если предположить, что кручение отсутствует, это означает, что у вас есть симметричные символы Кристоффеля, и вы знаете, как записать ковариантную производную в терминах символов Кристоффеля, поэтому берите производные и упрощайте, пока не получите только это правило произведения.

Ответы (1)

Я думаю, вам нужно первое тождество Бьянки (которое выполняется без кручения). Ваше антисимметричное выражение - это левая сторона

[ ∇ а , ∇ б ] ф с + [ ∇ б , ∇ с ] ф а + [ ∇ с , ∇ а ] ф б "=" − ф г ( р г с а б + р г а б с + р г с а б ) "=" 0
Я думаю, что мой знак минус верен для ковариантного случая выражения коммутатора/кривизны.

Добавлен комментарий: на самом деле ваш вывод с использованием г 2 "=" 0 также вполне корректно --- так что мой первый маршрут тождества Бьянки можно развернуть, чтобы дать четкое (и ранее неизвестное мне) доказательство первого тождества Бьянки для соединений без кручения.

Я добавил дополнительный комментарий к своему ответу.
Внешние и ковариантные производные
СпросиСетьПолитика конфиденциальности1y, 0v